DEUXIÉME  SUPPLÉMENT.
§  III.  Autre  sorte  de  développement  des  mêmes  fonctions
trigonométriques  de  l'amplitude.
125.  Revenons  à  l’expression  de  sin  o  de  l’art.  120,  et  appelant  Q2  le
produit  des  facteurs  binomes,
qV1etc.,
(V—V-)i
1—V.e,
supposons  que  ce  produit,  continué  à  l'infini,  soit  égal  à  la  suite
A(V—V*)+A(VV)+AVV5)e.,
A,,  A,,  A,,  etc.,  étant  des  coefficiens  indépendans  de  V.  Si,  dans  les
deux  expressions  de  Q,  on  met  qV  à  la  place  de  V,  on  devra  avoir
l'équation
(oVVV.1V.—qVa  .etc.
1—  V-2.1—9V.1—.etc.
=  A(VVA(A-e.
Or,  en  retranchant  les  facteurs  égaux  dans  les  premiers  membres  de  ces  deux
équations,  ils  se  réduisent,  le  premier,  à  (V—V=)(1—g'V2);  le  second
à  (qV—g-V-)(1—V-).  Celui-ci  est  égal  au  précédent,  multiplié  par
;  donc,  si  l’on  multiplie  le  second  membre  de  la  première  équation ¬
  par  qV°,  et  qu’à  ce  produit  on  ajoute  le  second  membre  de  la  seconde,
la  somme  devra  être  zéro;  on  aura  donc  l’équation  identique
o  =  A.V+  A,V3  +  A3V5+  AJV7  +  etc.
—  AV+AIgiVS+  A,gIV  +  Agg6V-  etc.
—A,VAVAA—e.
-8V-7—etc.
—A,qVAVV
Par  les  puissances  positives  de  V,  on  obtiendra  les  équations  de  condition
A,  +A,9=0,  A;+A,g4=0,  A4+A3g=  o,  etc.;
et  comme  les  puissances  négatives  donnent  les  mêmes  équations  ,  on  en  déduira ¬
  les  déterminations  suivantes  :
A,=Ag,  A;=—A,g=  A,q,  A=—  A3  =A.qu,
A5—  —Ajg  =  —  A,qu,  etc.;
donc  enfin  on  a  «2  ou