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FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,
forme la plus simple, sera
(A) a'(1—kxi)—x(1—x)=(x— x.) (x—x.) (« —x;):
elle suppose par conséquent a = 3, nombre le plus petit possible.
Soit t le terme que l’on suppose connu dans la série des valeurs particulières ¬
x., x,, x, ; en faisant « =t, le second membre de l'équation (A')
devient nul, et du premier on tire
1(1 — 4
1 — Kt
Soit ensuite «* — px + q = o l’équation du second degré, dont les
racines sont les deux autres valeurs particulières de x; il faudra qu'on ait
a' (1— kx)— x (1— x)= (x — t) (x— pa +q),
ce qui donne trois équations de condition, d'où l'on tire
t (1 — k2
t2 — 1
p1— =
Et 1—1—
On connaîtra ainsi les deux racines « = a, « = 6, qui, avec la racine
donnée x = t, serviront à composer les trois fonctions comprises dans le
premier membre de l’équation (3).
325. Si l’on veut comparer entre elles quatre fonctions, il faudra satisfaire ¬
à l'équation suivante, qui suppose u = 4,
(1x*)(x)—(c+c,x)a- (x—x) (x—x,)(a—x,) (x—x.)
Soient données les deux valeurs particulières « = t, « = t'; on aura
pour déterminer c et c, les deux équations
c+cta, ()(-)),
*(1—12
c+ ct= N,
)).
Ensuite, faisant (x — t) (x — t) = x — Ax + B, et appelant a et 6 les
deux autres valeurs particulières de x qui sont les racines de l'équation
2 — pa + q — o, on aura pour déterminer p et q les équations
A + p = c',
B + Ap + 4 — — 1 — p — 2cc,,
la seconde pouvant être remplacée par k’Bq = 1. On connaîtra donc les
quatre fonctions t, ot, da, »6, qui doivent composer le premier
membre de l'équation (3).
