FONCTIONS  ELLIPTIQUES,
a  et  6  étant  des  coefficiens  constans,  et  V  une  quantité  purement  algébrique. -
  On  doit  prévoir  que  le  calcul  de  la  quantité  V  deviendra  de  plus  en
plus  compliqué,  à  mesure  que  le  nombre  p  sera  plus  grand;  mais  cette
quantité  disparaît  lorsqu’il  s’agit  de  la  fonction  complète,  et  alors  la  transformation ¬
  de  la  fonction  E’k  peut  être  faite  généralement  par  une  formule
très  simple.
Pour  parvenir  à  ce  résultat,  il  serait  naturel  de  chercher  directement  la
valeur  de  l’intégrale  fddV(1—  h'  sin*+),  en  y  substituant  la  valeur  de
sin  d,  en  fonction  de  sin  o,  donnée  par  la  formule  du  théorème  1er;  alors
on  aurait  à  intégrer  la  différentielle
sss
/1—ksinsin
(1—Esino)
1—4sinosinep—sinsin
(1—  ke  sineç  sine  e,
Mais  cette  intégration  peut  présenter  des  difficultés,  au  moins  par  la
prolixité  des  calculs,  et  il  y  a  un  moyen  beaucoup  plus  simple  de
parvenir  au  résultat  ;  ce  moyen  consiste  à  différencier  l’équation.......
F(k,  o)  =  uF  (h,  d),  par  rapport  à  k,  en  regardant  o  comme  constante. ¬

73.  Il  faut  d’abord,  pour  cet  objet,  trouver  le  rapport  ,  en  différenciant ¬
  l’équation  des  modules  g=p
Par  la  formule  du  n°  46,  tome  1er,  appliquée  aux  quantités  K  =Fik  et
K'F'k,  on  a,  en  observant  que  dk
dK      (Ek  —  KFk),
dKEk—kFk);
donc
EkFk  +EkFk—FkFk)
K'aK—  KdK
Par  la  même  raison,
Hah  —Hah    ;
donc  l'équation  —pr,  étant  différenciée,  donnera
dk
EER  —  P.  LR
et  par  conséquent,
NI
hhHe
kkK  pek
dk  pkkK