421
Kap. XXVI. §. 678. und Logarithmen rc.
1) Ist m eine positive oder negative ganze Zahl oder 0,
so ist
I. (p-qei)n = rm.(Cosmo--i-Sin mo),
wo
r=+Vp und Cos und Sin9= ist.
m.Lr
Sind m und n positive ganze Zahlen, so ist, weil en —rn
ist, nach (§. 614.), unter vn die (§. 168.) definirte eindeutige
reele Potenz oder die, in diesem speziellen Falle mit ihr identische
künstliche Potenz verstanden:
II. (-+4-1) rn. Cos (2n,7-40)-ti: Sin2n7-+0)
wo r und o die eben angemerkten Bedeutungen haben, und wo
statt n, nach und nach allen Werthe 0, 1, 2, 3, 4,.... n—1,
gesetzt werden, so daß der Ausdruck zur rechten genau die n
Werthe liefert, welche die Potenz (p-+q-i)n hat.
Dieselbe Formel gilt aber auch noch, wenn m eine negative
ganze Zahl ist.
Wollte man in (II.) zur Rechten statt n, alle Werthe setzen, ¬
welche positive oder negative ganze Zahlen sind, so erhellet
auf den ersten Blick, daß dann zur Rechten dieselben n Werthe
nur immer wiederkehren würden. Je nachdem nämlich —n-+n,
oder —2n-n, oder 23n-n, u. s. w. statt n, gesetzt würde,
würde der Bogen um 2m7 oder 4mz oder 6m7 u. s. w. vermehrt ¬
oder vermindert, und die Kosinus und Sinus blieben deshalb ¬
dieselben, wie wenn n, selbst stehen geblieben wäre.
Bedeutet n, die Differenz n—n,, und setzt man —n-n. d. h.
-n2 statt n, in (II.), wodurch, wie wir eben gesehen haben, dieselben ¬
Werthe zur Rechten nur wiederkehren, so bekommt man noch
CoS (2ng-40)-ti.Sin(—2n-0)
(p+q-i)n
