THÉORIE  ANALYTIQUE
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q,  9,  q’,  etc.  étant  les  n  racines  de  l'équation
0=  z"—  a.z—+b.etc.
L'équation
—1—
)
d
donne
r.  (142)  a
+  etc.
En  repassant  des  fonctions  génératrices  aux  coefficiens,  on  aura
Ve  1)o  (1+o  etc..
Le  second  membre  de  cette  équation  peut  être  mis  sous  la
forme
x
A.
.
En  désignant  donc  par  la  fonction  arbitraire  o  (x)  la  quantité
),  l'expression  de  y,,  deviendra
)Ar.o(x).
Vr.  (1
Cette  valeur  satisfait  donc  à  l’équation  proposée  aux  différences
partielles.  Il  est  visible  que  chacune  des  racines  g’,  g’,  etc.  ,  fournit
une  valeur  semblable,  dans  laquelle  on  peut  introduire  une  autre
arbitraire.  Nous  désignerons  par  o,(x),  p,(x),  etc.  ces  nouvelles
arbitraires.  La  réunion  de  toutes  ces  valeurs  satisfera  à  l’équation
proposée,  parce  qu’elle  est  linéaire,  et  cette  réunion  en  sera  l’intégrale -
  complète  qui  est  ainsi,