FONCTIONS  ELLIPTIQUES,
222
choisie  pour  déterminer  la  constante,  ne  doit  point  être  l'une  des  limites
c=  0,  c  —  1  ;  car  en  faisant  c—o,  on  a  Flb=  log  4—c0  .Ainsi,  quelque
soit  6,  la  valeur  de  «  sera=  1  ;  il  en  est  de  même  lorsqu'on  fait  c=  1.  Mais
pour  toute  autre  valeur  de  c  l'indétermination  cesse.  Supposons,  par
exemple,  qu’on  veuille  avoir  «  =  o  lorsque  c  =  sin  45°  =  b,  on  aura
E,  les  fonctions  F’,  El  étant  prises  pour  le  module  sin  45°.
6  On =
  voit,  par  ce  nouvel  exemple,  que  les  fonctions  elliptiques  peuvent
servir  dans  certains  cas  à  intégrer  des  équations  différentielles  qui  ne  sont
point  accessibles  aux  méthodes  ordinaires.
10  Cfo
CHAPITRE  XXXI.
en
Sur  une  nouvelle  échelle  de  modules  qui  conduit  directement
aux  théorèmes  des  trois  chapitres  précédens  et  à  une  infinité
d'autres  semblables.
178.  Poun  généraliser  la  formule  de  l'art.  153,  supposons  qu'entre  les
amplitudes  6  et  o  on  ait  l'équation
sin  o  (m-+  hsin'o)
sin  (0(1) =

1  +  &  sin'o
m,  h,  k  étant  des  coefficiens  auxquels  nous  imposerons  successivement  diverses ¬
  conditions.  Et  d'abord,  si  on  veut  que  les  angles  «  et  o,  qui  naissent
en  même  temps,  parviennent  aussi  en  même  temps  à  la  valeur  90°  ou
,  il  faudra  satisfaire  à  la  condition  m  +  h  =  1  +  k;  dès-lors  on  prévoit ¬
  que  la  valeur  de  cos  o  devra  avoir  pour  facteur  cos  o;  on  aura  en  effet
coSOVII  +-  (ak  —  mi  +  1)  sin'o  4-  h'  sinto)
COS  60  1 =
  +  k  sin
Pour  plus  de  simplicité,  nous  supposerons  que  le  radical  se  réduit  à
une  quantité  rationnelle,  laquelle  ne  pourra  être  que  1  +  h  sin”o,  ou
1  —  h  sin'o.  La  première  valeur  ne  mènerait  à  aucun  résultat  ;  ainsi  il
faudra  supposer  2k  —  m'  +  1=  —  2h.  A  l'aide  de  ces  deux  conditions,  qui