Kap.  X.  §.233.  8"yz  —  V.,  dmugy  —  Vgy  ic.
35
und  daraus  wieder,  wenn  man  (§.  213.)  zuzieht,  und  danach
die  Grenzen  des  Integrals  verändert:
VII.  1).  u,da.
—d)-aVagedu,
.  ge
X-a
dx
zn-1.Ag  edz.
vII.  8).).
(—1).  6.920
Und  alle  diese  Resultate  liefern  zugleich  das  allgemeine
nte  Integral,  d.  h.  sie  liefern  alle  die  Funktionen  y,,  welche
der  gegebenen  Gleichung
Duys  =  Ug  oder  dhy  —  P.da.
entsprechen,  wenn  man  noch  eine  ganze  Funktion  von  x  vom
n—Iten  Grade  mit  n  willkührlichen  (konstanten)  Koeffizienten
addirt.
Anmerkung.  In  einer  Anwendung  kann  aber  eine  Funktion ¬
  y  nicht  bloß  durch  die  Gleichung  Ouy,  =  Ux,  sondern
auch  noch  durch  n  Nebenbedingungen  dergestalt  gegeben  seyn,
daß  auch  alle  n  Konstanten  in  dem  allgemeinen  Werth  für  y.
bestimmt  werden.  Dann  existirt  nur  eine  einzige,  völlig  bestimmte
Funktion,  welche  allen  diesen  Bedingungen  und  Erfordernissen
zugleich  genügt.
§.  233.  Aufgabe.
Man  soll  alle  Funktionen  yu,,  von  u  und  v  angeben,  welche
der  Gleichung
d2y
-  4
1  Orhar  —  Var  oder  durar.
entsprechen.
Auflösung.  Weil  Disyn,  =  8(Oyn),  ist,  so  folgt  aus
(1.)  zunächst
2)  dyu  —  Je-dy  +  C,
wo  C  von  v  unabhängig,  übrigens  willkührlich,  also  im  allgegemeinen ¬
  als  u  enthaltend  angesehen  werden  muß.  —  Aus  (2.)
folgt  aber  dann
3)  Yuy  —  J(Jy-dy)du  +(C.du-+C,,
wo  C.du  eben  so  willkührlich,  wie  C  selbst
seyn  wird,  aber
[3*