DU CALCUL
352
Les expressions (1) et (2) sont remarquables en ce qu’elles montrent bien la
liaison entre les dérivées directes et les dérivées inverses. Appliquons- les à
une intégration.
386. On propose de trouver l'intégrale fr(a +br+cx2) dar, dx étant
constante.
Faisant ici, comme n.° 367; « = a +br + cx, 6 = d(a + br + cx2)
— b + 2cx, y — 92(a + br + cx2) — c; on a Qa — a; et puisque
rO
on a, en changeant n en — n, p-nOa = dOda
frOa. dar — froa, da étant constante ; on a donc, par la formule (1),
= fro. (b + 202)-n
Jn(abr-ex2) dan
+ frt1g.n(n + 1)(b + 202)-n-20
(n -f 1).(7 — 3( 2c)-n-402
n2g.
. 2
l)5 (acr)-6
1 . 2 . J
+ etc.
Il faut compléter l’intégrale en y ajoutant C+ C,x + Czr2 + etc. + Con
expression qui renferme les n constantes arbitraires C, C,, C,, etc. C-1.
n
: donc
Il est aisé de voir qu'on a fra.
(r+ 1)(r + 2).....G+n)
l'intégrale demandée est
n(n + 1) (a + br + cx2)
(b + 202).
r + 7+1
n(n- 1): (n-+3) (a + ba + or2)2o2
(a-br +or2)+n
2(r-tn+1)(r+n-+2) (b + 202)
(+ 1)(r--2)...(-+7).(b-+ 2cx)
n(n + 1)....(n +5) (a+ba+o2)5c3
2.3(7-4-7-4-1)..(F-+-7-7-3) (b + 2cx)
etc.
+C + Cjr + Cza2 + Czaö + etc. + Ch-jar-1.
387. Si l’on demande l'intégrale
fro(a + br + ox2 + das +. etc.) da
dx étant constante, et qu’on veuille ordonner la série’suivant les puissances
de x, voici une manière bien simple de trouver cette série au moyen de
nos méthodes de dérivation.
Puisque