DU CALCUL 
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345. Suivons encore une voie différente pour résoudre le problème du n. 
255, en supposant, pour plus de simplicité, que m soit = — i, de manière 
que ce problème se ramène à l'énoncé suivant : 
Etant donnée la série 
A + Bx + Ca2 + Dad + Exh + etc. 
.....(1) 
on propose de la transformer en une autre de la forme 
a + by + cy2 + dy3 + eyh + etc., 
...(2) 
la relation entre x et y étant donnée par l’équation 
.....(3) 
9 6 + yr + 902 + e1ö + etc. 
L'équation (3) donnant 
x — y(6 + p.6.T + p2.6.22 + p3.6. 23 + etc.),.....(4) 
»— y (C + D.8.x + p2.8.22 + p3.g.23 + etc.);.....(5) 
et 
on voit qu’il suffit d’éliminer « de la série (1); à cet effet, on peut substituer 
dans (1) à la place de x et de ses puissances les valeurs qu’offrent les seconds 
membres de (4) et de (5), et l’on aura un résultat mélé de y et de x, dans 
lequel on fera de nouveau des substitutions pareilles à la place de x et de ses 
puissances; et en continuant ainsi on obtiendra une suite de termes affectés 
de y, y2, y5, etc., c’est- à-dire les premiers termes de la série (2). Cette 
manière est ce qu’on appelle la méthode des substitutions successives. On 
peut la simplifier et la rendre bien propre à faire trouver la loi que suivent 
les coëfficiens b, c, d, e, etc., par le procédé suivant. 
Après avoir donné à la série (1) la forme 
A + Bw + p.B.x2 + p2.B.x3 + p3.B.xt + etc., 
..(6) 
où B est considéré comme un premier terme, je tire de l’équation (4) celle-ci 
1 — xly (6 + p.8.x + p2.C.x2 + p3.6.a3 + p4. §. 24 + etc.); ..(7) 
je multiplie le premier terme A de la série (6) par i , premier membre de (7), 
et tous les autres termes de (6) par le second membre de (7); de cette 
manière la valeur de (6) ne change pas, et j'ai 
+ 6p3.Bay 
6p2.Boy 
A + CB.y + Cp. B oy 
+ D. 6. p2.B 
+ D. S. D. B 
+ D. 6. B 
+ etc., ..(8) 
+ p2. C.D. B 
+ P2.6.B 
pö. 6.D.B 
axpression