DU CALCUL 
258 
(III.) 
Etendons présentement le théorème du n.° 257 aux séries doubles. 
PROBLEME. 
295. Etant donnée la série double 
A + Bæ + Cx2 + Do 
+ etc. 
+ By + Cxy + D'x2y + etc. 
+ Cly2 + D'xy2 + etc. 
(1) 
D"y5 + etc. 
etc., 
et l'équation suivante en x et y, 
b+ cx+do2 +ex3 + etc. 
(1) 
+ cy+ day-ea2y + etc. 
+dyey-+etc.— y( Yy-ey-etc.); 
ey3 + etc. 
+ etc. 
tous les coëfficiens, ainsi que 7, étant des quantités quelconques, dépendantes 
ou indépendantes les unes des autres ; on propose d’éliminer « de la série (1) 
et de transformer celle-ci en une série ordonnée suivant les puissances de y, 
de cette forme : 
a ++ by + cy2 + dy5 + ey4 + etc., 
.....(III) 
a, b, c, d, e, étant des fonctions des coëfficiens de (1) et (11), dans lesquelles 
il n'entre ni « ni y. 
294. Pour résoudre ce problème, représentons par une seule lettre chaque 
série en y affectée d’une puissance différente de x, ainsi qu’il suit : 
A—A+ By + Cly+etc., BB + Cy + D'y2+ etc., 
C =0 + Dy+Ely2-etc., D = D + Ey + Fly2 + etc., etc., 
(1V) 
b —b + cy + d'y2-etc., ’c —c + dy + ely2 + etc., 
d—d + ey +fly? + etc., le — e +fy + gy? + etc., etc., 
6 — 6 + Yy + Oy + y + etc.; 
au moyen de ces notations le problème est ramené à celui du n.° 255, car la 
série (1) proposée ci-dessus devient 
A + Bx + Co2 + Da + etc.,