250 
DU CALCUL 
ARTICLE CINQUIEME. 
Applications du calcul des dérivations au retour général 
des séries. 
254. Nous ferons dépendre dans cet article le retour des séries de leur 
transformation , en présentant les propositions les plus étendues sur le retour 
des séries et des fonctions, comme une suite naturelle d’un théorème fort 
général sur la transformation des séries : il suffira ensuite d’étendre ce théo 
rème, pour en voir découler plusieurs propositions sur le retour des séries 
doubles. Les dérivations offrent de grands avantages dans ces recherches, en 
y apportant la simplicité et la facilité ; et les formules auxquelles elles nous 
conduiront peuvent encore servir à d’autres usages , comme à trouver la somme 
de beaucoup de séries , à rendre les séries plus convergentes, etc. : mais nous 
n’avons pu entrer dans aucun détail sur ces objets; nous avons cru devoir 
seulement nous arrêter à quelques conséquences relatives aux dérivations. 
(I.) 
PROBLÉME. 
255. Etant donnée la série 
A + Br + Cr? + Dos + Bah + Fab + etc.,... (1) 
on propose de la transformer en une autre de cette forme 
a + ba(-yr +dx2+ etc.)nx2( + et.)m 
....(2) 
+ das(6- yr + do2 + etc.)5m + etc., 
A, B, C, etc., et 6, y, d, etc. étant des quantités quelconques indépendantes 
les unes des autres et même arbitraires, et m étant aussi quelconque. 
Ce problème est l’inverse de l’exemple du numéro 62 ; et c’est de la solution 
de cet exemple que nous allons déduire celle du présent problème. On voit 
que la question se réduit à trouver les valeurs de a, b, c, d, etc. en A, B, 
C, D, etc. et en 6, y, ò, etc. 
Prenons donc les coëfficiens de v, v2, x5, etc. de la série du numéro 62 
sans les développer autrement qu'en 6, afin d'en mieux voir la loi ; savoir :