DU CALCUL 
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On voit comment au moyen des dérivations on auroit sur-le- champ les 
termes si le numérateur de la fraction proposé se trouvoit divisé par (ax + 6)2, 
ou en général par (ax + 6), ou par le produit de deux ou de plusieurs 
facteurs simples ax+6, ax +b, etc., ou par le produit de plusieurs poly 
nomes. Ainsi le terme affecté de om-n dans 
avn + bom-1 + com-2 + etc. 
(ax +6) 
aura pour coëfficient le développement de pr. (a« 1), p.a étant = 6 et 
P2. & — 0. 
Il se présente ici une foule d'exemples utiles sur-tout dans la théorie des 
équations. Mais en voilà assez pour montrer comment les dérivations con 
duisent d’ordinaire aux résultats demandés, de la manière la plus natu 
relle et la plus facile , et comment elles les expriment par des formules très 
simples, qu’on emploie ensuite avec le plus grand avantage, soit dans les 
démonstrations, soit dans des recherches ultérieures. 
EXEMPLE VI. 
110. Soit X une fonction rationnelle sans diviseur de x, de cette forme 
X — Aon - Bæm-1 + Com-2 + etc. + Oom-n — Pom-n-1 — Ogom-n-2 + etc. ; ...(1) 
on demande le coëfficient de «m-» dans la série résultante du développement 
X( 
de 
(a—x) 
En faisant attention que pa — — 1 et p2a — o, on a 
.... (2) 
(a—x)—a+pa.«+papa-et.; 
donc, en multipliant par cette série la valeur de X, on trouve 
Aa m —Ba-flöm-1 +Ca-m-2 
+ Cda +Dpa 
Apa m-1 +Bpa 
etc. .(3) 
+ Cp2a + Dp2a + Ep2a 
Ap2a-am-+2 + Bp2g 
+ etc. 
+ etc. 
+ etc. 
+ etc. 
+ etc. 
Il résulte de là que le coëfficient de «m- » peut être exprimé par pr. (ar. 2), 
pourvu qu’on fasse pa = — i, et de plus, à cause que la série (1) est descen 
dante tandis que la série (2) est ascendante, pourvu qu'on suppose que pr-i.A, 
pr- 2.A, etc., au lieu de désigner les lettres qui précèdent pr. A = O, désignent 
celles qui suivent O, savoir P, Q, etc.; ou, ce qui revient au même, pourvu 
qu'on écrive pa+. A, pr+2 A, etc., au lieu de pr-1. A. pr. 2. A, étc. 
De