NOTE VIII. 
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et A« 3H — 6, où l'on se souviendra que les signes » et 
«n’excluent pas l’égalité. Ces limites ont lieu généralement 
dans tous les polyèdres. 
2° Supposons 2A4S, ce qui convient à une infinité 
de polyèdres, et nommément à ceux dont tous les angles 
solides sont formés de quatre plans ou plus, on aura dans 
ce cas H8+0, ou, en faisant la substitution, 
a)8-+c-+2d+ 3e + etc. 
Donc il faut que le solide ait au moins huit faces triangu 
laires; la limite H» 8- donne S »6-0, etA) 2 +012. 
Mais on a en même tempso«H—8; et de là résulte S«H 
-2, A52H—4. 
3° Supposons 2A»5S, ce qui renferme entre autres 
polyèdres ceux dont tous les angles solides sont au moins 
quintuples, il en resultera HX 20 +36, ou 
a) 20+2b++ 5c+8d+ etc. 
Et on aura en même temps S12-+20, et A» 30 +50; 
enfin de ce que 0« (H— 20), on tire les limites S 
(H—2), A« (H—2). 
On ne peut supposer 2A — 6S; car on a en général 
2A +20-+ 12 — 6S; donc il n’y a aucun polyèdre dont 
tous les angles solides soient formés de six angles plans ou 
plus; et en effet la moindre valeur qu’aurait chaque angle 
plan, l’un portant l’autre, serait l’angle d’un triangle équi 
latéral, et six de ces angles feraient quatre angles droits, 
ce qui est trop grand pour un angle solide. 
4° Considérons un polyèdre dont toutes les faces soient 
triangulaires, on aura 6—o, ce qui donnera A — H, et 
S— 2-+  H. Supposons en outre que tous les angles solides 
du polyèdre soient en partie quintuples, en partie sextu 
ples; soit p le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sextuples, on aura S —p-q et2A —5p+6g, ce qui 
donne 6S—2 A=p : mais on a d’ailleurs A— H, et S 
2 + H; doncp—6S—2A— 12. Donc si un polyèdre a 
toutes ses faces triangulaires, et que ses angles solides soient 
en partie quintuples, en partie sextuples, les angles solides 
quintuples seront toujours au nombre de 12. Les sextuples 
peuvent être en nombre quelconque : ainsi, en laissant q 
indét ? miné, on aura dans tous ces solides S = 12 + 4, 
H— 20 +27, A — 30 +3q.