Comment. in 1. Cap. Sphæræ
quales, vt ex coroll. propoſ. 5. libro 1. Eucl. patet. in quadrilateris autem figuris om-
nia latera habentibus æqualia (quoniam neceſſarto ſunt parallelogramna, vt in
ſoholio propoſ. 34. libro 1. Eucl. oſtendimus) ſinguli oppoſiti inter ſe ſint æquales: Id-
circo totam hanc propoſitionem in triangulis & quadrilateris figuris ita demonstræ-
bimus. Sit primum triangulum A B C, inter ſibi Iſoperimetra triangula maxi-
[figure]
mum. Dico illud æquilæ
terum eſſe & æquiangu
lum. St enim non est æqui
laterum, ſed lateræ A B,
B C, ſunt inæqualia: ſi
ſuper baſem A C, consti-
tuatur, per propoſ. 7 hu-
ius triangulum Iſoſceles
A D C, ita vt latera A
D, D C, ſimul ęqualia
ſint lateribus A B, B C, ſimul erunt triangula A B C, A D C, Iſoperimetra, atque
adeo per propoſ. 8 huius, A D C, maius quàm A B C, quod est contra hypoteſim. Non
ergo inęqualia ſunt latera A B, A C, ſed æqualia. Eadem’qꝫ ratio eſt de cęteris. Ae-
quilaterum ergo eſt triangulum A B C. Igitur, ex coroll. propoſ. 5. lib. 1. Eucl. & æqui
angulum eſt. quod eſt propoſitum.
D
einde
ſit quadrilaterum A B C D, inter omnia ſibi Iſoperimetra maxi-
mum. Dico illud eſſe, & ęquilaterum & æquiangulum. Si enim non est æquilate-
rum, ſint latera A B, B C, ſi fieri poteſt, inęqualia, ducaturque recta A C. Si igitur,
per propoſ. 7. huius ſuper A C, conſtituatur triangulum A E C, iſoperimetrum triangu
lo A B C, erit, per propoſ. 8. huius, triangulum A E C, maius triangulo A B C. Addi-
to, ergo communitriangulo A C D, erit quadr ilaterum A E C D, maius quadrilate-
ro A B C D, quod eſt contra hypotheſim cum A B C D, maximum ponatur. Non
ergo inæqualia ſunt latera A B, B C, ſed ęqualia. Eademque ratio eſt de cęteris, Ae-
quilatera ergo eſt figura A B C D.
S
it
iam quadrilatera figura A B C D, omnium iſoperimetrarum maxima,
æquilatera, vt oſtenſum eſt, at non æquiangula, ſed anguli B A D, C D A, in æqua-
les ſint. Quoniam igitur figura A B C D, cum ſit ęquilatera parallelogrammum eſt,
vt in ſcholio propoſ. 34. libro 1. Euclides demonſtrauimus, ſi educantur ex A, & D,
duę linea perpendiculares A H, D G, occurrentes lateri B C, in H, & G, erit quo-
que A H G D, parallelogrammum. Quia vero latera A B, D C. maiora ſunt la-
teribus A H, D G, producantur hęc, vt fiant rectę A E, D F, lateribus A B, D C,
æquales, iungaturque recta E F: Quo facto, erit figura A E F D, iſoperimetra pa-
rallelogrammo A B C D, cum latera A E, D F, lateribus A B, D C, ęqualia ſint,
latus vero A D, commune, & latus E F, lateri B C, ęquale, quòd vtrumque ęquale
ſit lateri oppoſito A D. Cum ergo figura A E F D, maior ſit parallelogrammo A
H G D, hoc autẽ ę quale ſit parallelogrammo A B C D, erit quoque figura A E F D,
maior parallelogramno A B C D. Quare cum eidem ſit iſoperimetra, non erit A B
C D, figura quadrilatera inter ſibi Iſoperimetras maximam. quod eſt contra hy-
poteſim. Non ergo inęquales ſunt anguli B A D, C D A, ſed æquales: atque adeo cum
A B C D, ſit parallelo grammum, erunt anguli oppoſiti B, C, angulis D, A, ęquales
proptereaque tota figura ęquiangu la erit. quod eſt propoſitum.
