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39  wird.  Mithin  wird  zur  Zeit  des  Sommersolstitiums,
wo  die  Polardistanz  der  Sonne  =  66°  32  wird,  die  Dämmerung ¬
  die  ganze  Nacht  hindurch  dauern.  Man  sieht  aber,
daß,  wenn  diß  möglich  seyn  soll,  die  Polhöhe  nicht  kleiner
seyn  darf,  als  der  Ueberschuß  des  Complements  der  Schiefe
der  Ekliptik  über  18°,  d.  i.  nicht  kleiner  als  48°  32.  Soll
die  bürgerliche  Dämmerung  die  ganze  Nacht  hindurch  dauern
können;  so  darf  die  Polhöhe  nicht  kleiner  seyn  als  60°9.
Die  Bestimmung  der  Zeit  der  kürzesten  Dämmerung  erfordert ¬
  die  Auflösung  der  Aufgabe,  die  Polardistanz  eines
Sterns  zu  finden,  bey  welcher  er  unter  einer  gegebenen  Polhöhe ¬
  in  der  kürzesten  Zeit  von  einem  gegebenen  Parallelkreis
des  Horizonts  in  diesen  selbst  kommt.  Man  kann  im  Allgemeinen ¬
  beweisen,  daß  die  Zeit,  innerhalb  welcher  ein
Stern  von  einem  gegebenen  Parallelkreis  des  Horizonts  in
einen  andern  gegebenen  Parallel  desselben  kommt,  am  kleinsten ¬
  ist,  wenn  der  Parallelkreis  des  Sterns  die  zwey  gegebenen ¬
  Parallelkreise  des  Horizonts  unter  gleichen  Winkeln
durchschneidet,  oder  die  zwey  Winkel  einander  gleich  sind,
welche  die  von  den  Durchschnittspunkten  des  von  dem  Stern
beschriebenen  Parallels  mit  den  zwey  gegebenen  Almucantharat ¬
  an  das  Zenith  und  den  Pol  des  Aequators  gezogenen
grösten  Kreise  miteinander  einschließen.
§.  53.  Es  sey  nemlich  z  (Fig.  16.)  das  Zenith,  p  der  Pol,
zs,  zh  die  gegebenen  zwey  Zenithdistanzen,  welche  die  Abstände
der  zwey  gegebenen  Almucantharat  vom  Scheitel  messen,    und
h  die  zwey  Punkte,  in  welchen  der  um  po  =ph  vom  Pol  abstehende ¬
  Parallelkreis  eines  Sterns  den  zwey  Almucantharat  so  begegne, ¬
  daß  poz  =phz.  Ein  anderer  Stern  “,  dessen  Polardistanz ¬
  =  po'  sey,  stehe  in    um  z5  =  zs  vom  Scheitel  ab.  Man
mache  den  Winkel  sph'  =  sph,  ph'  =  po'  und  ziehe  die  Bogen
gröster  Kreise  so,  hh'.  Da  nun  sph  —  s'ph";  so  ist  auch  spo
—  hph,  und  weil  ph  =  pr,  ph'  =  po';  so  sind  die  Dreyecke  pos
und  phh'  congruent,  und  daher  phh'  —pos.  Aber  zhp  =  zep
(Voraussetz.);  folglich  zhh  =  zrr.  Man  nehme  5v  =  zh,
und  ziehe  vo“;  so  congruiren  auch  die  Dreyecke  zhh'  und  vos,
und  es  ist  vo  —zh.
Nun  ist  z.
zu+V  ZZU+vzzh:
zu+zh)