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ist 1.) ka+al) — KM4 ML, je nachdem die letzteren Linien
2ak
auf einerley, oder auf verschiedenen Seiten von MN liegen.
Bew. Weil M9 — 9m (Kegelschn. II, 8.); so ist ac = cb,
und die zwey Ellipsen sind concentrisch. Man ziehe den Durchmesser ¬
GH, welcher die MK in J halbiere, mit diesem durch
den Punkt N die Parallele NF, welche die MK, ak in F und
schneide, durch L die Parallele LO mit MN, welche der MR
in P, der MK in S, und der Are AB in r begegne, endlich
ziehe man NO. Da KMR = RML (Vorauss.); so ist LP
PS, und daher
27P
848 478 — 80. Folglich ist ON
2Ma
MN Kegelsch. II, 8.))
MSE ML, und QA mit parallel (I, 34.). Der Durchmesser =
GH halbiert also die NO in O (Kegelsch. II, 15. Zus. 2
mithin auch die mit ihr parallele Chorde ak der Ellipse adbe.
Es ist aber
KM — 2M
— 2MF 4 2F9
— 4af + 2/0 (VI, 2. und weil Ma — aN),
und ML — NO
= 2N0
2f0;
—
folglich KM-+- ML. — 4af-4afo
— 440 — 2ak — ka + al.
Eben so wird der Beweis für den andern Fall geführt, wo
KM und ML auf verschiedenen Seiten von MN liegen.
Aus L, K und k seyen die Perpendickel LP, KR, kp auf
MR und ab gefällt; so ist
2.) RMAMP = zap, je nachdem P und R auf einerley,
oder auf verschiedenen Seiten von Mliegen.
Denn es ist sowohl KM: RM)
als ML: MP§ — ak : ap;
folglich auch KM4ML: RMA MP — ak: ap
— 2ak: 2ap
— KM 4 ML: aap (n.1.).
Also RMA MP — zap *).
Wenn an einen beliebigen Punkt m einer Ellipse (Fig. 135.)
ein Halbmesser om, und eine Normallinie mn gezogen, und von
dem Punkt n, in welchem die letztere einer der Axen ab begegnet, ¬
ein Perpendickel nr gefällt wird; so ist
3.) em mr — dem Quadrat der anderen halben Are —cd.
Bew. Die Tangente mt an dem Punkt m schneide die ver*) ¬
Andere Beweise dieses Satzes findet man in der Preißschrift Maclaurin's. =
Sect. III. Lemma, 1. Cor. 4. und in Treat. of Flux. n. 625.
pag. 521.
