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403 la**); kl-ht
44372
Daher ist 1.) 22 —
h2kt
Man setze die der Distanz (M
entsprechende Centripetal7) ¬
kraft — k; so verhält sich k: k“—h2: z2. Folglich ist hak
K22, und te a.
Nun hängt die große Are der Ellipse
allein von der anfänglichen Geschwindigkeit v des Körpers und
seiner anfänglichen Distanz z von dem Mittelpunkt der Kraft
(§. 280. n. 6. oder §. 282 n. 1.) ab, die kleine Axe aber ist dem
Sinus des Winkels SMT oder SMR proportional (§. 280.
n. 12.); folglich ist die Umlaufszeit von der kleinen Axe, mithin
auch von der Excentricität der Ellipse, unabhängig.
Ein zweyter Körper beschreibe um denselben Mittelpunkt der
Kräfte in der Zeit T eine Ellipse, deren halbe große Axe =A
Der Abstand ihres dem Mittelpunkt der Kräfte zunächst
sey.
liegenden Scheitels von diesem Punkt sey = H, und die Centripetalkraft ¬
in dieser Distanz sey — K“; so wird man vermöge n. 1.
haben
, und es wird sich verhalten
A3
2.) T2: 12 HaK' -
hak
Vermöge des dritten keplerischen Gesetzes (§. 180.) verhält
sich, wenn A und a die halbe große Axen zweyer Planetenbahnen ¬
sind,
12 : 12 — A3 : a3
folglich muß HrK —h2k, oder
K':k —h2 : H seyn.
Dasselbe Gesetz der Centripetalkraft, welches für alle Punkte
einer elliptischen Planetenbahn gilt (§. 279.), erstrekt sich also
auch von einer Planetenbahn auf die andere.
Umgekehrt, wenn die Centripetalkraft umgekehrt den Quadraten =
der Distanzen proportional ist; so verhalten sich die Quadrate =
der Umlaufszeiten, wie die Würfel der halben großen
Aren oder der mitt eren Entfernungen. Denn nun ist K':khe: =
Hr, khe — K'H"; folglich nach n. 2.
4.) T* : t2 — A3 : a3,
Da der Inhalt des Sectors PSM—cht; so ist die Zeit
2Sect.PSM
t, in welcher dieser Sector beschrieben wird, —
ist aber für jeden Kegelschnitt, wie im Anfang dieses §. gezeigt
worden ist, und vermöge §. 280. n. 1. und 2. kil —02; folglich ist
*) Weil a: b — b: ( (Kegelschn. II. Erkl. 9.)
