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telpunkt  S  der  Kräfte,  und  die  gerade  Linie  AT,  welche  die  anfängliche ¬
  Richtung  der  Bewegung  bezeichnet,  auf  einander  zu
liegen  kommen.
Ein  anderer  Beweiß  dieses  Satzes  gründet  sich  auf  §.  278.
Es  seyen  S  und  «  (Fig.  110.  und  111.)  die  Mittelpunkte  der
Kräfte,  welche  auf  die  Körper  A  und  a  wirken,  und  AC,  ac
seyen  die  anfänglichen  Geschwindigkeiten.  Wenn  nun  SAC
sac,  AC  —  ac,  und  die  auf  A  und  a  wirkende  Kräfte  in  gleichen ¬
  Abständen  von  S  und  s  beständig  einander  gleich  sind;  so
werden  die  Körper  A  und  a  einerley  krumme  Linie  beschreiben.
Es  sey  nemlich  BAdie  Höhe,  von  welcher  der  Körper  A  fallen  müßte,
um  in  A  durch  die  Wirkung  der  Centripetalkraft  die  Geschwindigkeit ¬
  AC  zu  erlangen.  Die  krumme  Linie  FGO  sey  so  beschrieben, ¬
  daß  die  Ordinaten  BF.  AG,  NO  der  Centripetalkraft  in
den  Distanzen  BS,  AS,  NS  proportional  seyen;  so  werden  die
Quadrate  der  durch  den  Fall  von  den  Höhen  BA,  BN,  erlangten ¬
  Geschwindigkeiten  den  Flächenräumen  BFGK,  BFON  proportional ¬
  seyn  (§.  249.).  Eben  so  wird  sich  in  Fig.  111.  verhalten =
  das  Quadrat  der  Geschwindigkeit  in  a  zu  dem  Quadrat  der
Geschwindigkeit  in  n,  wie  die  Fläche  bfga:  Fläche  bfgn.  Da
nun  die  Kräfte  in  gleichen  Entfernungen  von  den  Mittelpunkten
S,  5  einander  gleich  sind  (Vorauss.);  so  werden,  wenn  BA—
ba,  BN  —  bn  sind,  die  Flächenräume  BFGA,  bfga,  und  BFNQ
bfng,  mithin  auch  die  durch  den  Fall  von  gleichen  Höhen  BA
da,  oder  BN,  bn  erlangte  Geschwindigkeiten  einander  gleich  seyn.
Aus  S  und  s  seyen  mit  gleichen  Halbmessern  SN,  on  die  Kreise
NM,  nm  beschrieben,  welche  den  krummen  Linien  AM,  am  in
M  und  m  begegnen,  und  NO,  nq  seyen  die  den  Punkten  N,  n
entsprechende  Ordinaten  der  krummen  Linien  FGO,  fgg.  Nach
§.  278.  sind  die  Geschwindigkeiten  in  M  und  m  den  durch  den
freyen  Fall  von  den  Höhen  BN,  bn  erlangten  Geschwindigkeiten
gleich,  und  es  verhält  sich
das  Quadr.  der  Geschw.  in  M.  Quadr.  d.  Geschw.  in  41—  BFON.  BFGA
bfga
oder  d.  O.  der  Geschw.  in  M5  (Quadr.  d.  Geschw.  in  a5
Quadr.  d.  Geschw.  in  4.  Quadr.  d.  Geschw.  in  n
—  bfga:  bfqn
Quadr.  d.  Geschw.  in  m).
mithin  Quadr.  d.  Geschw.  in  A:  Quadr.  d.  Geschw.  in  m.  —  BFQN:  bfgn.
Da  nun  die  zwey  Glieder  des  zweyten  Verhältnißes  einander ¬
  gleich  sind;  so  sind  in  gleichen  Distanzen  SM,  em  die  Geschwindigkeiten ¬
  der  krummlinigten  Bewegungen  einander  gleich.
Man  ziehe  an  die  Punkte  M.  m  die  Tangenten  MT,  mit  und
ziehe  SP,  SD,  sp,  «d  auf  MT,  AC,  mt,  ac  senkrecht;  so
verhält  sich  (§.  272.
Die  Geschw.  in  M:  Geschw.  in  A  =  SD:  SP
Geschw.  in  a  .  Geschw.  in  m.—  p.  3  6.
Geschw.  in  4
Hh2