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also  auch  (vermöge  n.  1.)  umgekehrt  wie  die  Quadrate  der
Schwingungszeiten.
Die  Sätze  n.  3.  4.  und  5.  sind  auf  große  und  kleine
Schwingungen  anwendbar,  wenn  die  Pendel  durch  ähnliche
Bogen  schwingen.
§.  260.  Wenn  die  Kraft,  welche  auf  den  in  der  krummen
Linie  DdA  (Fig.  95.)  sich  bewegenden  Körper  nach  der  Richtung
der  Tangente  dt  wirkt,  genau  dem  Bogen  dAproportional  wäre;
so  würde  die  Zeit  des  Falls  durch  den  Bogen  DA  nach  §.  245.
genau  angegeben  werden  können,  und  für  große  und  kleine  Bogen ¬
  von  gleicher  Dauer  seyn.  Diese  Eigenschaft  hat  die  Cykloide
FamC  (Fig.  96.),  welche  krumme  Linie  von  einem  Punkt  m  des
Umfangs  eines  an  einer  geraden  Linie  FbC  sich  so  hinwälzenden
Kreises  fmk  beschrieben  wird,  daß  der  Kreis  beständig  die  gerade
Linie  FC  berührt,  und  nach  und  nach  die  Theile  seines  Umfangs
an  dieselbige  anlegt.  Man  setze,  der  beschreibende  Punkt  m  habe
zuerst  die  gerade  Linie  FC  in  dem  Punkt  C  berührt;  so  wird,
wenn  der  Kreis  sich  nach  der  Richtung  CF  fortgewälzt  hat,  und
der  Punkt  m  wieder  mit  der  geraden  Linie  CF  in  dem  Punkt  F
in  Berührung  gekommen  ist,  die  gerade  Linie  CF,  welche  man
die  Basis  der  Cykloide  nennt,  dem  Umfang  des  Kreises  gleich
seyn,  welcher  durch  seine  Bewegung  die  Cykloide  beschreibt,  und
der  erzeugende  Kreis  (circulus  generator)  heißt.  Man  halbire
FC  in  b,  ziehe  durch  diesen  Punkt  auf  derjenigen  Seite  der  FC,
auf  welcher  der  Kreis  sich  wälzt,  die  gerade  Linie  ba  auf  FC
senkrecht,  und  mache  ba  dem  Durchmesser  fk  des  erzeugenden
Kreises  fmk  gleich;  so  wird,  weil  die  gerade  Linie  bC  dem  halben ¬
  Umfang  des  Kreises  gleich  ist,  wenn  der  Kreis  einen  halben
Umlauf  gemacht  hat,  und  daher  die  FC  inb  berührt,  der  beschreibende ¬
  Punkt  in  a,  und  dieser  Punkt  der  Cykloide,  welchen
man  ihren  Scheitel  nennt,  am  weitesten  von  der  Basis  entfernt
seyn.  Die  gerade  Linie  ba  heißt  die  Axe  der  Cykloide,  und
theilt  sie  in  zwey  gleiche  und  ähnliche  Theile.
Einige  der  merkwürdigsten  geometrischen  Eigenschaften  dieser
krummen  Linie  sind  folgende:
Wenn  man  von  einem  beliebigen  Punkt  m  der  Cykloide  ein
Perpendickel  mp  auf  die  Axe  ab  fällt,  welches  dem  um  ab  als
Durchmesser  beschriebenen  Kreis  in  n  begegnet;  so  ist  die  Chorde ¬
  na  dieses  Kreises  mit  der  an  den  Punkt  m  der  Cykloide  gezogen ¬
  Tangente  m1  parallel.
2.)  Der  Bogen  am  der  Cykloide  ist  das  Doppelte  der  Chorde  an.
3.)  Wenn  man  auf  der  Tangente  mT  von  dem  Berührungspunkt
m  an  die  mD  =  2na  oder  —  dem  Bogen  am  (n.  2.)  nimmt;
so  liegt  der  Punkt  Dauf  einer  der  Fal,  gleichen  Cykloide  a4a.