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§.  181.  Unter  der  Voraussetzung  des  ersten  keplerischen ¬
  Gesetzes  (§.  178.)  kann  die  elliptische  Bahn  eines  Planeten ¬
  auf  folgende  Art  gefunden  werden.  Man  bestimme
die  Lage  der  Ebene  der  Bahn  nach  §.  174.  175.  176.  und
in  derselben  drey  Radios  Vectores  SM,SM,SM  (Fig.  60.)
der  Größe  und  der  Lage  nach,  wie  im  173.  und  177  §.  gezeigt ¬
  worden  ist.  Es  sey  PMMA  die  gesuchte  Ellipse,  Al
ihre  große  Axe,  C  ihr  Mittelpunkt,  S,  F  ihre  Brennpunkte, ¬
  in  deren  einem  S  die  Sonne  sich  befinde.  Die  große
Axe  sey  über  den  Brenupunkt  S  hinaus  so  nach  G  verlängert, ¬
  daß  CS:  CP=  CP:  CG  sich  verhalte,  und  durch  G
die  HL  auf  GA  senkrecht  gezogen  (welche  die  Directrix  der
Ellipse  heißt).  Zieht  man  durch  irgend  einen  Punkt  A  der
Ellipse  eine  Parallele  M  mit  4G;  so  verhält  sich  der  Abstand ¬
  MQ  dieses  Punkts  von  der  Directrix  zu  seinem  Abstand ¬
  SM  von  dem  der  Directrix  zunächst  gelegenen  Brennpunkt ¬
  S  wie  CS:  CP  (Kegelschu.  II,  6.),  und  eben  so
MQ:SM  -CS:CP.  Folglich  MO:  SMEMQ:SM,
und  verwechselt  MO:  MO=SM:M.  Sind  nun  SM
und  SM  einander  gleich;  so  werden  auch  M  und  M0  einander ¬
  gleich,  und  die  Chorde  MM  wird  mit  der  Directrix  LA
parallel,  oder  auf  der  großen  Axe  senkrecht,  mithin  diese
der  Lage  nach  gegeben  seyn.  Sind  aber  SM,  SAI  ungleich;
so  wird  die  verlängerte  Chorde  M  der  Directrix  in  einem
Punkt  K  begegnen,  und  es  wird  sich  verhalten  SM:  SM
MQ:  MQ  —  MK:  MK.  Also  ist  das  Verhältniß  von
M  K  zu  MK,  und,  weil  die  Punkte  M,  M  gegeben  sind
der  Punkt  K  der  Directrix  gegeben.  Eben  so  ist,  wenn
man  die  Chorde  MM  bis  an  die  Directrix  nach  K  verlängert, ¬
  das  Verhältniß  von  MK:  MK  dem  gegebenen  Verhältniß =
  von  SM  :  SM  gleich,  und  daher  auch  der  Punkt
K  der  Directrix  gegeben.  Demnach  ist  die  Directrix  selbst,
und  daher  auch  die  große  Axe  der  Ellipse  der  Lage  nach  gegeben. ¬
  Da  nun  die  Lage  der  Directrix  gegeben  ist;  so  ist
auch  die  MQ,  mithin  das  Verhältniß  von  SM:  M0  gegeben. ¬
  Es  verhält  sich  aber  so  wohl  81:  PG  als  SA:  AG
wie  SM:  MQ  vermöge  des  oben  angeführten  Satzes.  Folglich =
  sind,  weil  GS  gegeben  ist,  die  Endpunkte  Pund  A  der
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