DE CENTRO GRAVIT. SOLID. e portionis a b
c grauitatis eſſe
centrum. Diui-
datur enim b d
bifariam in m: & rurſus d m, m
b bifariam diui-
dantur in pun-
ctis n, o: inſcri-
baturq; portio-
ni figura ſolida,
& altera circum
ſcribatur ex cy-
lindris æqualem
altitudinem ha-
bentibus, utſu-
perius dictũ eſt. Sit autem pri-
mum figura in-
ſcripta cylĩ drus
f g: & circũſcri-
pta ex cylindris
a h, K l conſtet. punctum n erit
centrum graui-
tatis figuræ in-
fcriptæ, mediũ
ſcilicet ipſius d
m axis: atq; idẽ
erit centrum cy
lindri a h: & cy-
lindri K l centrũ
o, axis b m me-
dium, quare ſi li FED. COMMANDINI neam on ita di
uiſerimus in p,
ut quã propor-
tionẽ habet cy-
lindrus a h ad
cylindrum K l,
habeat linea o p
ad p n: centrum
grauitatis toti-
us figuræ circũ-
ſcriptæ erit pun
ctum p. Sed cy-
lindri, qui ſunt
æquali altitudi-
ne, candem in-
ter ſe ſe, quam
baſes propor-
tionem habent: eſtq; ut linea d b
ad b m, ita qua-
dratũ lineæ a d
ad quadratũ ip-
ſius _K_ in, ex uige
ſima primi libri
conicorũ: & ita
quadratum a c
ad quadratũ K
g: hoc eſt circu-
lus circa diame
trum a c ad cir-
culum circa dia
metrum k g. du
pla eſt autem li-
nea d b lineæ DE CENTRO GRAVIT. SOLID. b m. ergo circulus a c circuli _k_ g: & idcirco cylindrus
a h cylindri _k_ l duplus erit. quare & linea o p dupla
ipſius p n. Deinde inſcripta & circumſcripta portioni
alia figura, ita ut inſcripta conſtituatur ex tribus cylin-
dris q r, s g, tu: circumſcripta uero ex quatuor a x, y z,
_K_ ν, θ λ: diuidantur b o, o m, m n, n d bifariam in punctis
μ ν π ρ. Itaque cylindri θ λ centrum grauitætis eſt punctum
μ: & cylindri K ν centrum ν. ergo ſi linea μ ν diuidatur in σ,
ita ut μ σ ad σ ν proportionẽ eã habeat, quam cylindrus K ν
ad cylindrum θ λ, uidelicet quam quadratum K m ad qua-
dratum θ o, hoc eſt, quam linea m b ad b o: erit σ centrum
magnitudinis compoſitæ ex cylindris K ν, θ λ. & cum linea
m b ſit dupla b o, erit & μ σ ipſius σ ν dupla. præterea quo-
niam cylindri y z centrum grauitatis eſt π, linea σ π ita diui
ſa in τ, ut σ τ ad τ π eam habeat proportionem, quam cylin
drus y z ad duos cylindros K ν, θ λ: erit τ centrum magnitu
dinis, quæ ex dictis tribus cylindris conſtat. cylindrus au-
tẽ y z ad cylindrum θ λ eſt, ut linea n b ad b o, hoc eſt ut 3
ad 1: & ad cylindrum k ν, ut n b ad b m, uidelicet ut 3 ad 2. quare y z cylĩdrus duobus cylindris k ν, θ λ æqualis erit. & propterea linea σ τ æqualis ipſi τ π. denique cylindri a x
centrum grauitatis eſt punctum ρ. & cum τ ζ diuiſa fuerit
in eã proportionem, quam habet cylindrus a x ad tres cy-
lindros y z, _k_ ν, θ λ: erit in eo puncto centrum grauitatis
totius figuræ circũſcriptæ. Sed cylindrus a x ad ipſum y z
eſt ut linea d b ad b n: hoc eſt ut 4 ad 3: & duo cylindri _k_ ν
θ λ cylindro y z ſunt æquales. cylindrns igitur a x ad tres
iam dictos cylindros eſt ut 2 ad 3. Sed quoniã μ σ eſt dua-
rum partium, & σ ν unius, qualium μ π eſt ſex; erit σ π par-
tium quatuor: proptereaq; τ π duarum, & ν π, hoc eſt π ρ
trium. quare ſequitur ut punctum π totius figuræ circum
ſcriptæ ſit centrum. Itaque fiat ν υ ad υ π, ut μ σ ad σ ν. & υ ρ
bifariam diuidatur in φ. Similiter ut in circumſcripta figu
ra oſtendetur centrum magnitudinis compoſitæ ex cylin- FED. COMMANDINI dris s g, t u eſſe
punctum υ & totius figuræ in
ſcriptæ, quæ cõ-
ſtat ex cylindris
q r, ſ g, t u eſſe φ
centrum. Sunt
enim hi cylindri
æquales & ſimi-
les cylindris y z,
K ν, θ λ, figuræ
circumſcriptæ. Quoniã igitur
ut b e ad e d, ita
eſt o p ad p n; utraq; enim u-
triuſque eſt du-
pla: erit compo
nendo, ut b d ad
d e, ita o n ad n
p; & permutan
do, ut b d ad o
n, ita d e ad n p. Sed b d dupla
eſt o n. ergo & e d ipſius n p du
pla erit. quòd ſi
e d bifariam di-
uidatur ĩ χ, erit
χ d, uel e χ æ-
qualis n p: & ſublata e n, quæ
eſt cõmunis u-
trique e χ, p n, DE CENTRO GRAVIT. SOLID. relinquetur p e ipſi n χ æqualis. cum autem b e ſit dupla
e d, & o p dupla p n, hoc eſt ipſius e χ, & reliquum, uideli-
cet b o unà cum p e ipſius reliqui χ d duplnm erit. eſtque
b o dupla ζ d. ergo p e, hoc eſt n χ ipſius χ ρ dupla. ſed d n
dupla eſt n ζ. reliqua igitur d χ dupla reliquæ χ n. ſunt au-
tem d χ, p n inter ſe æquales: itemq; æquales χ n, p e. qua-
re conſtat n p ipſius p e duplam eſſe. & idcirco p e ipſi e n
æqualem. Rurſus cum ſit μ ν dupla o ν, & μ σ dupla σ ν; erit
etiam reliqua ν σ o dupla. Eadem quoque ratione
cõcludetur π υ dupla υ m. ergo ut ν σ ad σ O, ita π υ ad υ m: componendoq; , & permutando, ut υ o ad π m, ita o σ ad
m υ & ſunt æquales ν o, π m. quare & o σ, m υ æquales. præ
terea σ π dupla eſt π τ, & ν π ipſius π m. reliqua igitur σ ν re
liquæ m τ dupla. atque erat ν σ dupla σ o. ergo m τ, σ o æ-
quales ſunt: & ita æquales m υ, n φ. at o σ, eſt æqualis
m υ. Sequitur igitur, ut omnes o σ, m τ, m υ, n φ in-
ter ſe ſint æquales. Sed ut ρ π ad π τ, hoc eſt ut 3 ad 2, ita n d
ad d χ: permutãdoq; ut ρ π ad n d, ita π τ ad d χ. & ſũt æqua
les ζ π, n d. ergo d χ, hoc eſt n p, & π τ æquales. Sed etiam æ-
quales n π, π m. reliqua igitur π p reliquæ m τ, hoc eſt ipſi
n φ æqualis erit. quare dempta p π ex p e, & φ n dempta ex
n e, relinquitur p e æqualis e φ. Itaque π, ρ centra figurarũ
ſecundo loco deſcriptarum a primis centris p n æquali in-
teruallo recedunt. quòd ſi rurſus aliæ figuræ deſcribantur,
eodem modo demonſtrabimus earum centra æqualiter ab
his recedere, & ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri. Ex quibus conſtat lineam π φ à centro grauitatis
portionis diuidi in partes æquales. Si enim fieri poteſt, non
ſit centrum in puncto e, quod eſt lineæ π φ medium: ſed in
ψ: & ipſi π ψ æqualis fiat φ ω. Cum igitur in portione ſolida
quædam figura inſcribi posſit, ita ut linea, quæ inter cen-
trum grauitatis portionis, & inſcriptæ figuræ interiicitur,
qualibet linea propoſita ſit minor, quod proxime demon-
ſtrauimus: perueniet tandem φ centrum inſcriptæ figuræ FED. COMMANDINI DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ad punctum ω. Sed quoniam π circum ſcripta itidem alia
figura æquali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum φ applieuerit ſe ad ω, & π ad punctũ ψ, hoc eſt ad
portionis centrum ſe applicabit. quod fieri nullo modo
poſſe perſpicuum eſt. non aliter idem abſurdum ſequetur,
ſi ponamus centrum portionis recedere à medio ad par-
tes ω; eſſet enim aliquando centrum figuræ inſcriptæ idem
quod portionis centrũ. ergo punctum e centrum erit gra
uitatis portionis a b c. quod demonſtrare oportebat.

94.1.

0195-01

7. huius

0196-01

8. primi
libri Ar-
chimedis

11. duo-
decimi.

15. quinti

2. duode-
cimi.

20. primi
conicorũ

0198-01

19. quinti

0200-01

Quod autem ſupra demõſtratum eſt in portione conoi-
dis recta per figuras, quæ ex cylindris æqualem altitudi-
dinem habentibus conſtant, idem ſimiliter demonſtrabi-
mus per figuras ex cylindri portionibus conſtantes in ea
portione, quæ plano non ad axem recto abſcinditur. ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propoſi
tionem libri Archimedis de conoidibus & ſphæroidibus. portiones cylindri, quæ æquali ſunt altitudine eam inter ſe
ſe proportionem habent, quam ipſarum baſes; baſes autẽ
quæ ſunt ellipſes ſimiles eandem proportionem habere,
quam quadrata diametrorum eiuſdem rationis, ex corol-
lario ſeptimæ propoſitionis libri de conoidibus, & ſphæ-
roidibus, manifeſte apparet.

95. THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX.

SI à portione conoidis rectanguli alia portio
abſcindatur, plano baſi æquidiſtante; habebit
portio tota ad eam, quæ abſciſſa eſt, duplam pro
portio nem eius, quæ eſt baſis maioris portionis
ad baſi m minoris, uel quæ axis maioris ad axem
minoris.