THÉORIE  ANALYTIQUE
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Pour  cela,  concevons  une  urne  qui  renferme  une  infinité  de
boules  blanches  et  noires  dans  un  rapport  inconnu.  Supposons
ensuite  qu’ayant  tiré  au  hasard  un  grand  nombre  p  de  ces  boules.
q  aient  été  blanches,  et  que  dans  un  second  tirage,  sur  un  nombre
inconnu  de  boules  extraites,  il  y  en  ait  q'  de  blanches.  Pour  en
déduire  ce  nombre  inconnu,  on  suppose  son  rapport  à  q',  le  même
que  celui  de  p  à  q;  ce  qui  donne  24  pour  ce  nombre.  Cherchons
la  probabilité  que  le  nombre  des  boules  extraites  au  second  tirage,
est  compris  dans  les  limites    =z.  Nommons  «  le  rapport  inconnu
du  nombre  des  boules  blanches,  au  nombre  total  des  boules  de
l’urne.  La  probabilité  de  l’événement  observé  dans  le  premier  tirage,
sera  exprimée  par  le  terme  qui  a  pour  facteur  x(.(1—x)r  dans
le  développement  du  binome  (x+  1—  x);  d’où  il  est  facile  de
conclure  ,  comme  dans  le  numéro  précédent,  que  la  probabilité
de  x  est
xdx.(1—x)P
sasdx.  (1—2)—2
l’intégrale  du  dénominateur  étant  prise  depuis  x  =  o  jusqu’à  x  =1.
Concevons  maintenant  que  dans  le  second  tirage,  le  nombre  total
des  boules  extraites  est  2.  +z;  la  probabilité  du  nombre  observé  q
+z
de  boules  blanches  ,  sera  le  terme  du  binome  («+  1  —  x
pa  2—4
qui  a  pour  facteur  x”.(1—x)7
;  cette  probabilité  est  donc
1.2.3....(.  +2
Pa2
—.x*.(1—x)9
1.2.3...q.1.2.3...(-2—
En  la  multipliant  par  la  probabilité  précédente  de  x,  en  intégrant
le  produit  depuis  «  =  o  jusqu’à  x  =  1,  et  en  le  divisant  par  ce
même  produit  multiplié  pour  dz,  et  intégré  pour  toutes  les  valeurs
positives  et  négatives  de  z,  on  aura  la  probabilité  que  le  nombre
total