THÉORIE  ANALYTIQUE
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La  formule  précédente  est  une  application  très-  simple  de
l'équation
dy
n
2
S  +
ds  ds
.
que  nous  avons  donnée  dans  le  n°  10  ;  car  en  développant  le
second  membre  de  cette  équation,  et  faisant  y,=s’,  on  obtient
directement  cette  formule  que  nous  avons  conclue  des  passages
du  réel  à  l’imaginaire  ;  ce  qui  confirme  la  justesse  de  ces  passages.
41.  Les  formules  (u')  et  (u')  des  numéros  précédens,  supposent ¬
  n'égal  ou  moindre  que  i.  En  effet,  si  l’on  considère  l’expression -

da.c
Ar.s
(dr.  c
dont  le  développement  a  produit  ces  formules;  on  voit  que  les  limites
des  intégrales  du  numérateur  et  du  dénominateur  étant  déterminées
par  le  numéro  précédent,  en  égalant  à  zéro  le  produit  des  quantités -
  sous  le  signe  intégral  ,  par  x;  ces  limites  seront  toutes  ima
ginaires,  lorsque  i  sera  plus  grand  que  n;  au  lieu  que  dans  le  cas
où  i  sera  moindre  que  n,  les  limites  de  l’intégrale  du  numérateur -
  seront  réelles  ,  tandis  que  celles  du  dénominateur  seront
imaginaires;  il  faut  donc  alors  ramener  ces  dernières  limites  à
l’état  réel.  Pour  y  parvenir,  nous  observerons  que  l’on  a  généralement -

saitda.c
rda.c
1.  (+1).  (-+2)......  (-+7)
m
Si  l’on  fait  dans  cette  expression,  i  négatif  et  égal  à
m  étant  moindre  que  n;  on  aura
Ler  r  1  1.  c
da.c
m
m)
....i
2
or  on  a  par  le  n°  32,  les  intégrales  étant  prises  depuis  «  nul  jusqu’à