DES  PROBABILITÉS.
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même  fractionnaire  ;  ce  qui  donne  le  moyen  d’avoir  les  différences
et  les  intégrales  correspondantes  à  des  indices  fractionnaires.  Toute
la  difficulté  se  réduit  à  mettre  sous  la  forme  d’intégrales  définies,
une  fonction  de  s;  ce  que  l’on  peut  faire  par  les  nos  29  et  30,
lorsque  cette  fonction  est  donnée  par  une  équation  linéaire  aux
différences  infiniment  petites  ou  finies.  Comme  on  est  principalement -
  conduit  dans  l’analyse  des  hasards,  à  des  expressions  qui  ne
sont  que  les  différences  finies  des  fonctions,  ou  une  partie  de  ces
différences;  nous  allons  y  appliquer  les  méthodes  précédentes,  et
déterminer  leurs  valeurs  en  séries  convergentes.
40.  Considérons  d’abord  la  fonction    En  la  désignant  par  y.,
elle  sera  déterminée  par  l’équation  aux  différences  infiniment  petites
0=s.
d.  i
Si  l'on  suppose  dans  cette  équation,
y.—scd,y
elle  deviendra
0=  soda.  (i.  dy+x.
)
d’où  l’on  tire  en  intégrant  par  parties,  conformément  à  la  méthode
du  n°  29,  les  deux  équations
d.  (o
0=  i0
da
0=  x0.dy.
La  première  donne  en  l'intégrant,
0=  A.x
A  étant  une  arbitraire.  La  seconde  équation  donne  pour  les  limites
de  l'intégrale  /c.,  «  =0  et  a  =  c.  On  aura  donc  dans
ces  limites,
A.sada