LIBRO  IX.
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è  necessaria  una  specie  di  numero  che  non  si
può  trovare  colle  moltiplicazioni,  si  trova  con  accurate -
  descrizioni  di  linee  (1).  Della  qual  cosa
è  questa  la  dimostrazione.  Un  luogo  quadrato  lungo -
  e  largo  dieci  piedi  dà  un  area  di  cento  piedi; -
  se  dunque  sarà  d'  uopo  duplicare,  e  fare
un  area  di  dugento  piedi,  parimente  di  lati  uguali, -
  si  cercherà  quale  sia  per  essere  la  grandezza
del  lato  di  quel  quadrato,  affinchè  da  quello  risulti -
  un  area  doppia  di  dugento  piedi.  Ma  ciò
non  si  può  trovare  col  numero  :  perchè  se  si  stabilirà -
  di  quattordici,  moltiplicando  si  avranno  piedi -
  centonovantasei,  se  quindici,  piedi  dugentoventicinque. -

5.  Poiché  dunque  non  si  dimostra  ciò  col
numero,  in  quel  quadrato  lungo  e  largo  dieci  piedi -
  si  conduca  una  linea  diagonale  da  angolo  ad
angolo,  la  quale  lo  divida  in  due  triangoli  di  uguale -
  grandezza  di  piedi  cinquanta  d'area  per
ciascuno,  e  secondo  la  lunghezza  della  linea  diagonale -
  si  descriva  uno  spazio  di  quattro  lati  uguali: -
  cosi  di  quella  stessa  grandezza  di  cinquanta
piedi  l'uno,  che  nel  quadrato  minore  i  due  triangoli
dalla  linea  diagonale  furon  descritti,  faranno  pure -
  i  quattro  nel  quadrato  maggiore  formati.  Con
questo  metodo  la  duplicazione  del  quadrato  su  da
(1)  Imbarazzatissimo  è  il  testo;  ma  noi,  seguendo  la  lezione -
  del  Pontedera  e  dello  Schneider,  non  possiamo  errare
nel  senso.