CAPO  I.
Ritrovato  di  Platone  (1)  per  misurare  il  campo.
4.  Se  vi  è  un  luogo,  od  un  campo  di  quattro -
  lati  uguali,  e  lo  si  dee  duplicare,  perchè  vi
(1)  Da  Filandro  in  poi  tutti  gl'  interpreti  convennero
essere  stati  i  tre  primi  capitoli  di  questo  libro  malamente
staccati  dalla  prefazione,  e  ciò  non  aver  fatto  Vitruvio.  Ed
invero  le  scoperte  in  essi  indicate  devono  stare  a  guisa  d'esempio -
  dell'  eccellenza  di  quegl'  ingegni  che  ne  furono  gl'inventori, -
  come  fêce  nelle  altre  prefazioni,  perciocchè  nulla
hanno  che  fare  coll'  argomento  trattato  in  questo  libro.  L'Orsini -
  diffatti  saggiamente  le  riuni,  come  vuole  la  ragione.
L'invenzion  di  Platone  non  è  che  una  conseguenza  del
teorema  pittagorico,  poichè  in  un  quadrato  la  diagonale  essendo
ipotenusa  di  un  triangolò  isoscele  rettangolo,  ne  segue  che  il
suo  quadrato  sarà  doppio  di  quello  di  un  cateto.  Diffatti  nel
triangolo  ABD,  fig.  1.  Tav.  I.,  si  ha  BD  AB?  AD  2  ma
AB  =AD,  dunque  BD=  2  AB  La  dimostrazione  poi  riportata -
  da  Vitruvio  (che,  al  dir  del  Galiani,  è  piuttosto  pratica -
  che  geometrica)  si  ha  geometricamente  come  segue.  Il
quadrato  ABCD,  diviso  in  due  triangoli  eguali  dalla  diagonale, -
  il  quadrato  di  questa  diagonale,  cioè  ADEF,  viene
dalle  due  diagonali  BE,  DF  diviso  in  quattro  triangoli  eguali -
  fra  loro,  ed  eguali  a  quelli  in  cui  era  diviso  il  primo  quadrato. -
  Diffatti  per  gli  angoli  retti  e  semiretti,  che  si  hanno
nei  medesimi,  si  prova  facilmente  che  i  lati  BC,  CD  del
quadrato  piccolo  devono  essere  nella  direzionê  delle  diagonali -
  del  quadrato  grande,  e  siccome  queste  diagonali  si  tagliano -
  per  metà,  ne  segue  che  tutti  quei  triangoli  sono  eguali, -
  e  siccome  il  piccolo  quadrato  ne  contiene  due,  ed  il
grande  ne  contiene  quattro,  è  chiaro  che  il  secondo  avrà
un'  area  doppia  di  quella  del  primo.  Non  è  questo  però  il
solo  metodo  che  serva  alla  duplicazione  del  quadrato;  per
esempio  fra  gli  altri  è  quello  di  circoscrivere  al  quadrato
proposto  un  circolo,  ed  a  questo  circolo  un  altro  quadrato,
per  cui  il  secondo  risulta  doppio  del  primo,  siccome  mostrammo -
  nel  Lib.  IV.  pag.  14.