NOTES  DU  LIVRE  IX.
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quel  est  celui  qui  surpasse  les  autres  à  la  course,  à  la  lutte  et  dans
les  autres  exercices  de  ce  genre.
3.—  Quadratus  locus.  Il  est  très-facile  de  mesurer  un  carré.
Puisque  ses  quatre  côtés  sont  égaux,  en  multipliant  deux  de  ces
côtés  l'un  par  l'autre,  le  produit  donnera  la  surface  du  carré.
Ainsi,  chaque  côté  présentant  dix  pieds,  et  le  nombre  dix  multiplié -
  par  lui-même  donnant  cent,  la  surface  du  carré  contient  cent
pieds  carrés.  Mais  que  l'on  veuille  doubler  cette  surface  en  lui
conservant  sa  figure  carrée,  on  devra  chercher  la  grandeur  des
côtés  de  ce  carré,  pour  que  la  multiplication  d'un  de  ces  côtés
par  lui-même  produise  les  deux  cents  pieds;  ce  qu'il  sera  impossible -
  de  trouver  :  car  donnez  aux  côtés  quatorze  pieds,  le  produit
sera  de  cent  quatre-vingt-seize;  donnez-leur  en  quinze,  le  produit -
  sera  de  deux  cent  vingt-cinq.  Il  faudra  donc  avoir  recours
aux  lignes,  et  l'on  verra  (fig.  98)  que
Fig.  98.
le  carré  aeou,  tracé  sur  la  diagonale
ae,  est  double  du  petit  carré  aren,
dans  lequel  on  a  tiré  la  diagonale.
Nous  venons  de  voir  qu’il  est  reconnu -
  en  géométrie,  qu'en  multipliant -
  par  elles-mêmes  les  quantités
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qui  divisent  la  longueur  d'un  des
côtés  du  carré,  on  a  l'étendue  de  sa
superficie  ;  qu'il  est  encore  reconnu,
par  conséquent,  que  le  côté  ar  du
carré  est  incommensurable  avec  sa  diagonale  ae;  qu'il  est  donc
impossible  d'indiquer  avec  des  nombres  la  longueur  de  la  diago
nale  d'un  carré  dont  on  connaît  le  côté.  C'est  ce  que  Vitruve  entend, -
  quand  il  dit  qu’on  ne  peut  trouver  un  nombre  qui,  multiplié -
  par  lui-même,  donne  un  carré  qui  soit  le  double  d'un  autre
qui  a  été  produit  par  un  nombre  donné.  La  démonstration  qu’il
en  donne  ici  est  plutôt  pratique  que  géométrique,  dit  de  Bioul.
En  géométrie,  la  démonstration  de  cette  proposition  ou  problème
se  fait  de  la  même  manière  que  celle  de  la  célèbre  proposition
d'Euclide,  qui  est  la  47e  de  son  1er  livre,  dont  il  sera  bientôt  parlé,
parce  que  le  carré  de  l’hypothénuse  ae,  qui  est  ici  la  diagonale  du
petit  carré,  est  égal  aux  deux  carrés  des  côtés  ar,  re;  ici,  les
deux  côtés  étant  égaux,  c'est  la  même  chose  que  si  l'on  disait  que
ce  carré  est  le  double  de  celui  dans  lequel  se  trouve  la  diagonale.
4.  —  Hac  ratione.  On  peut,  d'une  autre  manière  que  celle
que  Platon  a  employée;  doubler  un  carré  dont  les  quatre  côtés