LIBER
reliquae rationis antecedens, & ita quasi decussatim ducendo rationis diuidendam numerum consequentem, per
diuidentis antecedentem, nascetur reliquae seu ortae rationis consequens numerus. Exempla id aperte osten¬
dunt. In multiplicibus primum id experiemur. Subt rahenda sit dupla a tripla, partire denominatorem tripla,
per duo ipsius dupla rationis denominatorem, fiet 1. cum dimidio; orietur igitur ex hac partitione sesquial¬
tera proportio. Similiter subducenda quadrupla ab octupla, reliqua erit dupla. sint huius numeri in quadru¬
pla proportione 16. & 4. & 64. & 8. in octupla. duc octo in sexdecim fient centum uiginti octo, &
4. in 64. fient. 256. inter igitur 128. & 256. erit proportio dupla, nam bis 128. producunt. 256.
In superparticularibus quoque rationibus ablatio huiusmodi hoc modo fiet.
64 — —8 Octupla.
Auferenda sit a sesquialtera sesquitertia. partiri 1. cum dimidio denomina¬
16—4 quadrupla.
torem sesquialterae per 1. & tertiam denominatorem sesquitertiae, reliqua
128-256 dupla.
ratio erit 1 octaua hoc est sesquioctaua.
In superpartientibus demum auferatur bipartiens tertias, a tripartiente
4—sesquialtera
quartas, diuide 1. & tres quartae per 1. & duas tertias fiet vnum &
8—6—sesquitertia.
vigesima pars, a quibus sesquigesima ratio denominatur.
36—32—sesquioctaua: Partita igitur ratione maioris inaequalitatis per rationem maioris, cum dis¬
similes fuerint, ratio fiet maioris inaequalitatis, & utraque minor.
Eodem responsu intelliges de dissimilibus minoris inaequalitatis com¬
tripartiens quartas.
7—4
parationibus, fiet enim comparatio minoris inaequalitatis, & utra¬
bipartiens tertias.
5—3
que simili modo minor. At si utraeque rationes, aut maioris aut
21—20 sesquigesima.
minoris inaequalitatis fuerint, & similes, quod aeque est, ac si data
ratio per se ipsam diuidatur, quae ueniet ratio erit aequalitatis. Sed si altera maioris, altera minoris inaequali¬
tatis extiterit, ea quę prodibit ratio, in ipsa ratione diuidenda firmabitur, quaescilicet per maiorem numerum fie
ri solet. Caterum si ordinem mutaueris, ita ut rationem subtrahendam, alteri supraponas, eademque multiplicandi
forma seruata permutatam rationem senties, ita ut quemadmodum in priori exemplo sublata tripla, una ex
dupla, sit sesquialtera, ita hic inuerso ordine fiet subsesquialtera, similis ratio in reliquis.
8.—6
bipartiens tertias.
8—4
sesquitertia
Dupla.
7—
6—4
18—6
tripartiens quartas.
sesquialtera
Tripla.
20—21
Subsesquialtera. 48—72
subsesquigesima.
subsesquioctaua; 32—36
Possem hoc loco proportionum proprietates afferre, ac attendere quod ab aequalitate, inaequalitas omnis
prouenit, aequalitatemque esse inaequalitatis principium, ac demum ad equalitatem omnem inaequalitatem redu¬
ci. quibus in rebus mutta secretioris philosophiae arcana continentur, sed haec suo loco reseruanda sunt, altio¬
ris enim sunt indagationis, & usque ad diuinitatem pertingunt. nunc de perquirendis ignotis numeris per eos,
qui noti sunt, regulas aureas apponemus, ac primùm id in minimis terminis exequemur. Duo igitur ad minus
sunt numerorum termini, quibus cognitis, tertium inuestigamus, siue ille terminus extremus sit, siue medius,
loquor autem nunc de ijs, qui se mutua ac continenti comparatione respiciunt. Esto duo numeri praecedentes
inter se, aliqua ratione comparati. Verbi gratia. 36. 12. uolo tertium inuenire, ad quem posterior
scilicet 12, se habeat, quemadmodum. 36. ad ipsum. Multiplicetur seu diuidatur in se posterior ille nume¬
rus, qui secundum locum tenere debet idest. 12. inse, qui ab ea ductione prouenit numerus, id erit 144.
per 144. priorem hoc est 36. partiare, certe prodibit numerus ille, quem uolebam, id est 4. qui se ad
duodecim, uel ad quem 12. se havebunt, quemadmodum 36. ad 12. in tripla enim proportione erit.
Quod si duxeris 36. in se, emergent 1296. quae per 12. partita reddent 108. quare 108. primus
erit trium proportione se consequentium numerorum, propositis numeris praeponendus; nam numerus 108.
comparatus ad 36. eandem seruabit rationem ad 36. quam idem 36. ad 12. triplam scilicet, quae
est ex genere multiplicium. Datis igitur duobus numeris tertium seu postremum inuenimus. quod si medium
uoluerimus inuenire inter duos propositos numeros proportione respondentem, ducendi sunt propositi illi nume¬
ri inter se, & quadrata ipsorum radix inuenienda, nempe ea erit medius ille numerus, ad quem prior ita se ha¬
bebit, quemadmodum ille ad posteriorem. Hic ad Arithmeticos accedendum, qui de extrahendis numerorum
radicibus regulas ponunt. Radices autem numerorum intelligo eos numeros, qui in se ducti efficiunt eam sum
mam, de qua radicem trahimus, nam quatuor radix est sexdecim, ducta enim in se quatuor efficiunt sexde¬
cim. Exemplo sint 25. & 4. uolo numerum medium inuenire, ad quem 25. se habeat ea ratione, qua
ille se ad 4. habebit. due igitur 4. in 25. fient 100. cuius radix est decem, ergo 25. ad decem se ha¬
bebit, ut decem ad 4. nempe in proportione dupla sexquialtera. Atque haec satis dicta sint in minimo nu¬
merorum ordine. Nunc ad plures ordines transeundum, & quaerendum, qua ratione tribus terminis nume¬
rorum propositis, & notis alius inueniatur. Fieri autem potest, ut uel primus, uel secundus, uel tertius, uel
quartus ignotus sit, reliquis tribus perspectis. debemus tamen in experiendo quartum locum ignoto numero
reseruare. ita ut primus tertiore, & ratione conueniat, nam ita fiet, ut secundus quarto ignoto respondeat,
Esto exempli gratia 30. 20. 24. 16. qui sesquialtera ratione respiciant, esto etiam ignotus numerus 16.
duc 24. per 20. efficies 480. partire 480. per 30. resultabit ignotus ille, & quaesitus numerus sea
decim. At si primus numerus quaratur uidelicet 30. eum quarto loco ponito, nam cùm sit 30. ad 20. 60