Full text: Vitruvius: I Dieci Libri dell' Architettvra di M. Vitrvvio

NONO. piu, & il ſodo otto piu. Fu adunque dimandato da Geometri, in che modo ſtãdo quel ſodo nella iſteſſa figura ſi poteſſe raddoppiarlo, & questa di
manda fu detta il raddoppiamento del cubo, imperoche propoſtoli un cubo cercauano in che modo poteſſero ſarne un doppio à quello. Affaticã-
do adũque molti per molto tempo primo fu Hipocrate, che pensò, che ſe egli ſi trouaua come propoſteci due linee dritte, delle quali la mag-
giore ſuſſe doppia alla minore, ſi pigliaſſero due altre di mezzo proportionate in continua proportione, che il cubo ageuolmente ſi raddoppia-
rebbe, per ilche la ſua dubitatione ſi riuolſe in una maggiore. Non molto dapoi egli ſi dice, che eßendo à gli habitatori di Delo, che era-
no appeſtati, dall’oraculo impoſto, che raddoppiaſſero un certo altare, ſi uenne nella isteſſa dubitatione, & eſſendo richie ſti quaſi con ripren-
ſione quei Geometri, che erano nella Academia appreſſo Platone. Fu dimandato loro, che trouaſſero quello, che ſi andaua cercando. Quelli
hauẽdoſi dato alla fatica, e cercando di trouare due linee di mezzo à due propoſte, dicono, che Archita Tarentino le trouò per uia de i Semici-
lindri, Eudoxo per uia di linee oblique, Auuenne, che ciaſcuno trouò bene la dimostratione approuata di tai coſe, ma niuno puote accommodar
le all’uſo, & eſſercitarle con le mani. Eccetto Menechmo, ilquale però ſece poco, & con gran difficultà. Ma noi imaginato hauemo una faci-
le inuentione per uia di ſtrumenti, con la quale non ſolamente ſi potranno trouare due linee di mezzo à due proposte, ma quante cì ſera impo-
ſto, che noi trouamo, & con quello ritrouamento potremo in ſomma ridurre al cubo il propoſto ſodo contenuto da linee egualmente diſtanti,
ò uero uſcir d’una figura, & ſormarne un’altra, & renderla pare, ò maggiore, ſeruando la ſimiglianza, perche non ha dubbio, che non ſi poſſa
con tale ſtrumanto raddoppiare gli altari, i Tempi, & ridurre al cubo le miſure delle coſe liquide, & ſecche, come ſono i Moggi, & i Miri,
per dir’ à modo nostro, con i lati delle qual miſure la capacità de, i uaſi, è, conoſciuta, & in ſomma la cognitione di quest a dimanda, e utile, & commoda à quelli, che uogliono radoppiare, ò far maggiori tutti quelli ſtrumenti, che ſono per trar dardi, pietre, ò palle di ſerro, percioche,
è, neceſſario, che ogni coſa creſca in larghezza, & grandezza con proportione, ò ſian fori, ò nerui, che u’entrano, ò quello, che occorre ſe
pur uolemo, che il tutto creſca con proportione, ilche non ſi puo ſare ſenza la inuentione del mezzo. La dimoſtratione adunque, & l’appa-
rato del ſopradetto ſtrumento ti ho qui ſotto deſcritto, & prima la dimoſtrationc.

110.1.

10

Proposte ſiano due linee dritte, è diſſeguali, l’una ſia a b. l’altra c. d. cerchiamo tra queſte hauerne due di mezzo, che ſiano in continua proportio-
ne, cioe, che ſi come ſi ha la prima alla ſeconda, coſi ſi habbia la ſeconda alla terza, & la terza alla quarta, concedici, che l’una, & l’al
tra delle propoſte linee a b. & c d. cadino à piombo ſopra una dritta linea, & quella ſia b. d. & delle due proposte ſia la maggiore a b. & le mi
nore c. d. & dall’a. al c. uenga una linea, che tirata piu oltre cada ſopra la linea b. d. nel punto e. Vegni ancho dal punto a ſopra la linea b. d. una linea, & ſia quella a. f. & dal punto f. ſia tirata una linea paralella alla linea a. b. & ſia quella f. g. che tagli la linea a. c. nel punto. g. per ſi-
mile conceſione dal punto. g. ſia tir ata una linea egualmente diſtante alla linea a. f. & ſia quella g. h. che taglie la linea b d. nel punto h. ſopra
ilqual punto ſi drizza una linea egualmente diſtante, ò paralella alla linea a. b. & ſia quella h. i. che tagli la linea a. c. nel punto i. dalqual pun-
to diſcenda una linea egualmente diſtante alla linea a. ſ. & termini nel punto d. fatto queſto, per maggior dichiar atione chiamaremo la linea
a b. la f. g. la h. i. & la c. d. le priune paralelle, & la a f. la g. h. la d. i. le ſeconde paralelle. Similmente ciſono due gran triangoli l’uno é, lo a b. e. che ha lo angulo, b. giuſto, l’altro e lo a. ſ. e. quello chiameremo primo triangolo, queſto ſecondo triangolo, nel primo triangolo ci ſono
quelli triangoli fatti dalle prime paralelle, & ſono g ſe, ihe. cde. queſti perche ſono di anguli eguali, come ſi ha per la 29. del primo di
Euclide hanno i lati proportionali, come ſi conclude per la quarta del ſeſto; Similmente perche i ſecondi triangoli ſatti dalle ſeconde para-
lelle ſono di lati eguali, ſenza dubbio haueranno i loro lati proportionati. A dunque ſi come nelle prime paralelle hanno proportione tra ſe,
a e. ad e. g. coſi banno b e. ad e. ſ & ſi come a e. ad e. g. nelle ſeconde paralelle ſi hanno, coſi f. e. ad e. h. & di nouo come nelle prime f. e. ad e. h. coſi g. e. ad e. i. ma nelle ſecondo egualmente diſtanti, come g. e. ad e. i. co4i h. e. ad e. d. Sono adũnque continue proportionali a b. f g. h i. c d. perche ſi come ſi ha b. e ad e. ſ coſi ſi ha a. b. ad ſ. g. & come f. e. ad e. h coſi f. g. ad h. i. & come h. e. ad e. d. coſi h. i. a. c. d. propoſte adunque due
drite linee a. b. c. d. trouate hauemo due di mezzo, che ſono ſ. g. & h i. iche far doueuamo. Questa è l’opinione di Eratoſthene circa la dimo
ſtratione, & ſe ben egli uuole, che la linea a b. & la c d ſiano dritte ſopra la linea b d. non è pero, che non ſegua la steſſa concluſione in qualun-
que modo l’ una, & l’altra linea cada ſopra la linea b d. pur che amendue facciano anguli ſimiglianti. & ſiano per ſimili congiugnimenti egual-
mente diſtanti, perche tutto è ſondato ſopra queſta ragione, che di que trianguli, che hanno gli anguli eguali, ſono i lati proportionali. In ſom
ma ſe noi uorremo trouare piu di due linee proportionali tra le lince a. b. & c. d. biſognerd ſecondo il ſopradetto modo formare piu linee para
lelle, ſi delle prime, come delle ſeconde.

110.1.

20
30
40

Lo ſtrumento colquale ſi poſſa fare, & porre in oper a coſi bella inuentione ſecondo Era
toſthene e queſto. Piglia una piana di legno, ò di rame piu lunga, che larga, di figu-
ra quadrangulare, che habbia tutti gli anguli giuſti, & ſia per eſſempio la tauola ab
d c ſe noi uorremo cõ eſſa tirare due linee di mezzo proportionate ? biſognara accõ
ciare tre lamette ſopra eſſa in questo modo, piglia tre lamette ſottilisſime di qualche
ſoda materia quadrangulari, & di giuſti anguli, & una di queſte ferma nel mezzo
della piana, ſi che non ſi poſſa mouere, & ſia questa e f g h. & ne i punti e & ſ. hab
bia fitte due regole con i ſuoi pironi in modo, che ciaſcuna ſi poſſa in ogni parte riuol-
gere ſia una regola e m. l’altra f n. ma l’altra lametta ſia K d c che ſia poſta in tal mo
do nella piana, che ſi poſſa mouere uerſo la lametta ſermata e. f. g. h. & ancho rimouer da quella hauendo ſempre i lati ſuoi paralle lli al lato ſ. h. tenendo ancho ſul punto K. una regola, che ſi poſſa uolgere, & ſia questa regola K. o. laquale inſieme con le due altre c. m. & f. n. ſia acconcia
in modo, che tutte ſiano tra loro paralelle, & i loro communi tagli, che fanno con la a g. ſ h. & l. ſiano nella iſteſſa dritta linea m n l o. Simil
mente la a. m. ſia eguale alla d K perche la a. m. inſenſibileẽte auanza la d K. Eſſendo queste coſi ordinate tra due linee dritte a b, & c d. ſi dan
no due dimezzo in continu a proportione, che ſono e n. & f o. per le ſopradette ragioni. Ma ſe per caſo le due linee propoſte come ſarebbe
la. s. & la. t. allequali biſogno ſiaritrouarne due di mezzo in cõtinua proportione, non ſer anno eguali à quelle linee, che ſon nello ſtrumento
a b. & r d. facciaſi col mouere ſecondo il biſogno la lametta K. d. c. tirandola uerſo la lametta ferma, ò allargandola, & facendola ſempre egual
mente diſtante, facciaſi dico, che ſi come ſi ha la s. alla t. coſi ſi habbia la a b. all’r d. perche alla a b. & r d. che ſono nello ſtrumento ritrouate ſi
ſono due di mezzo proportionate. Seguita che alla s. & alla t. propoſte trouate ſeranno due di mezzo in continua proportione.

110.1.

a g i c b f h d e
50
60
m p a b x n g e u i h o f l k c r d q s t

Quanto piu adunque artificioſo ſera lo inſtrumento, & ben ſatto, tan
to piu facilmente ſi trouer anno le due proportionali, pero le teſte
delle lamette, che ſi moueno entrer anno ne i lor canali aſſettate, & ſi moueranno dolcemente, & ſe alcuno uorra trouare piu di due li-
nee proportlonali, egli potra con l’aggiunta di piu regole, e lamette
commodamente farlo, & queſta è ſtata la inuentione di Eratoſthe-
ne, biſogna però auuertire che le regole ſiano longe, perche quan-
do biſogna allargare le lamette, posſino aggiugnere à i tagli delle
linee, che ſi uorranno, è tocchino il lato ſuperiore dello ſtrumento come e m. f x. K u. anzi per dir meglio ſiano tanto grandi quanto ſarebbe la
diagonale della lametta ferma e. f. g. h. ò uer poco piu. Reſta di dire con piu chiarezza e ſacilita coſi debbia uſare questo ſtrumento, cioe co-
me con eßo ſi poſſan trouare tra due linee altre due, ò piu proportionate ſecondo la mente di Eratosthene, & prima tra due due, & poi tra
due piu propotionali.

110.1.

70

Sian due linee dritte a b. c d. caggiano amendue ſopra una linea dritta in modo, che ſiano egualmente diſtanti, e tanto ſi aggiugna alla linea. c d. che ella ſia pari alla linea a b. il cui capo ſia, e, & dallo a. ſia tirata una linea ſin’all’e. ſiche ſi faccia una ſoperficie quadrangulare a b c e. par-
tiſcaſi poï la lined b c. in tre parti, una dellequali ſia la doue è la f. & alquanto piu inanzi dal punto f. ſia ſegnato il punto g. di modo, che dal
b. al g. ſia alqnanto piu d’un terzo della linea b c. ſimilmente nella linea a. ſia ſegnato un punto tanto diſtante dallo a. quanto e il g. dal b. & ſia quello h. & ſi leghi poi il g. con la a, & con la h. & lo a con il d, & la g h. taglie la a d. nel punto, i, ſimilmente ſi tagli tanto della linea a b.

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