IN LIB. IX.
fieret putauit latus vnumquo duplum eſſe faciẽdum, hal-
lucinatus. Etenim lateribus duplicatis, planum quodli-
bet, quadruplum efficiebatur, ipſum verò ſolidum, octo-
plum. Q uæſitũ concertatum est, quonam modo propo-
ſitum ſolidum in ea forma permanens, duplicari poſſet. Res ad geometras relata eſt, Ambigẽtibus cæteris, Hip-
pocrates Chius indicauit fieri id poſſe, ſi constitutis dua-
bus lineis, quarũ maior minoris eſſet dupla, duæ mediæ
in cótinua proportione inuenirentur. Aliquanto poſt De-
lii cum or aculo Apollinis iuberentur ar am ipſius duplica-
re, ne qua id fieri poſſet ratione ſatis viderent, obiur-
gante Platone, qui in academia erant, geometras, Archi-
tas Tarentinus per hemicylindros, Eudoxus per inflex as
lineas demonstrauerunt, ſed parum ad vſum, vt cæteri
omnes, præter Menechmũ qui breue quiddam & ſub oſcu-
rum relinquit. Poſtea Eratosthenes instrumentum forma-
uit. Idem Valla rationem inueniendarum mediarum pro-
portionalium ex ſententia Archimedis, Eutocii, Platonis
Heronis, Philonis, Bizantii, Apollonii, Dioclis, Pappi,
Pori, Menechmi, Architæ, Eratoſthenis, Philoponi, & Dionyſiodori codem loco tradere conatus eſt. Hæc ego
ſcripſeram cum beneficio Rodolphi pii Carporum Cardi-
nalis, facta eſt nobis copia videndi exſcribendi (curan-
te id Mecœnate meo) Archimedis de ſphæra & Cylin-
dro cum enarratione Eutocii volumẽ ornamento futurum
auguſtiſſimæ illi & inſtructiſſimæ Bibliothecæ, quá tuto-
to orbe terrarum maximis ſumptibus conquiſitis omnium
diſciplinarum & linguarũ libris FRANCISCE
Rex Regum potentiſſime & chriſtianiſſime ad Fontem
Bleeium instituiſti. Id volumen Georgii Vallæ fuerat,
GVL. PHIL. ANNOT.
in quo præter linguæ Doricæ proprietatem & omiſſion@
ſpirituum at accentuum, quæ in legendo nonnihil exhi-
buerunt difficultatis, occurrunt ſubinde ſyllabarum & di-
ctionum notæ, quæ ne à Græcis quidem ipſis hoc tempo-
re ſatis agnoſcuntur. Ita ex eo deprebendimus quæ à
Vall a tradita eſſent, ab Eutocio Aſcalonita ſcripta eſſe
in Archimedis libri {πὲ}{ρὶ}{σφ}{αέ}ρ{α***} {καὶ} κυλί{δρ}ον
ſecundi, theorema primum, quòd in eo doceretur propor-
tionales medias lineas inuenire. Q uòd autẽ ad Architam
& Eratoſthenem, quorum hic meminit Vitruuius, attinet,
quoniam ab vtro breuius tradita ratio videbatur quam
vt à multis intelligi poſſet, Ludouicus Lucenius quem nó
ſemel in hoc opere nominaui quod eius iudicium & inge-
nium quo ſum Romæ familiariter vſus, magnopere mihi
placuit & vnum ex omnibus meorum ſcriptorũ cenſorem
clegi, me auctore explicuit, quod ſi aſcripſero videbor n@
paruam à ſtudioſis iniiſſe gratiam. Ita prius dieam qu@
ratione ille Architam duo media proportionalia per he-
micylindros inueniſſe exiſtimet, quæ eadem eſt duplican-
di cubiratio. Deinde ostendam quæ ſit ratio conficiendt
Meſolabii instrumenti ad media proportionalia vnũ, duo,
nut plura deprehendenda, cubicum corpus, ſeruata figu-
ra, quantũlibet augendum ex Eratoſthenis inuentione. Ergo quod ad Architæ inuentum attinet. Sint datæ duæ
rectæ lineæ. B. C. & . C. D. inter quas duas medias pro-
portionales inuenire oporteat, deſcribatur circulus. B. C. D. F. cuius dimetiens ſit. B. C. & à ſigno. C. per. 1. quarti Euclid. ducatur linea æqualis. C. D. quæ congruat
in circulo. B. C. D. F. & fiat recta linea circunferentiæ. C. D. & hæc eadem linea extra circulum producta & li-
IN LIB. IX.
nea. G. H. quæ in ſigno. B. tangat circulũ. B. C. D. con-
currant in ſigno. G. (concurrent enim per. 16. & . 17. @ertii eiuſdem & . 9. communem ſententiam, ac. 5. poſtu-
latum. Deinde intelligatur Hemicylindrus erectus in ſe-
micirculo. B. C. D. & in eodem ſemicirculo alius ſimilis
ſemicirculus ad angulos rectos erectus, at que in paralello
grammo hemicylindri poſitus, præterea intelligatur hũc
cundem ſemicirculum erectũ circũduci verſus ſignum. D. @ius dimentiente. B. C. ab eodem æquilibrio nuſquam di-
moto & . C. ſigno manente, ſecare ſu a circũferentia he-
micylindri ſuperficiem conuexam, & deſcribere in ea
quandam lineam cylindricam, inſtar vti earum quibus
in horario cylindro hor arũſpacia distinguũtur. Intelliga-
tur rurſus triangulum. C. B. G. manente altero eius la-
tere. C. B. quod circuli. B. C. D. F. dimetiens est, in op-
poſitam partem, quam motus fuit ſemicirculus, circũuer-
ti, & deſcribere alterolatere. C. G. per. 16. diffinitionẽ
vndecimi, conicam ſuperficiem, quæ obuians lineæ cylin-
dricæ concurret in exteriori cõuexa hemicylindri ſuper-
ſicie, in aliquo ſiquo ex iis quæ erũt in eadem linea. C. G. inter. D. & . G. & hoc ſignum ſit. K. à quo ad planum ſe-
micirculũ. B. C. D. excitetur per. 11. vndecimi perpen-
dicularis linea. K N. quæ in ipsa incidet ſemicirculi circũ
ferentiá, in qua hemicylindri ſuperficies, vbi eſt ſignũ K. fuit erecta, & cõnectatur ſigna. C N. et ĩtelligatur linea. C K. ea tũró erit. C. B. ad. C K. quæ. C K, ad. C N. et
quæ. C. N. ad. C D. quod vt oſtẽdatur ita habere, ex citẽ-
tur per. 31. primi, lineæ. G B H. à ſigno. D. paralellũ. D. F. quæ cógruat in circulo. B. C. D. F. fiat recta cir-
aũferentiæ. D. F. & intelligatur ſignum. D. deſcribere in
GVL. PHIL. ANNOT.
coni ſuperficie ſemicirculum. d m f. cuius dimetiens ſit
d f. Deſcribantur iſta omnia, quantum res ipſa patietur
in ſubiecto plano, in quo habeat poſitionem motus quidem
ſemicirculus vt eſt ĩ figura ſubiecta ſemicirculus. b c K. Triangulũ verò vſ ad ſuipſius ſemicirculi in exterio-
ri hemicylindri ſuperficie communem ſectionem circun-
ductum, vt est. blc. ſignum huius communis ſectionis
ſit K, & ſemicirculus quem deſcribit. d. ſit. d m f. & perpendicularis à ſigno. K. in planũ ſemicirculum incidẽs
ſit linea. K n. quæ quoniam eſt in ſuperficie ſemicirculi. c b K. ſignum. n. in quod incidet, erit in quo eiuſdem
ſemicirculi dimetiens, qui est. c b. ſecat in ea poſitura
circunferentiam ſemicirculi. b c d. Deinde connectantur
ſigna. n c, linea recta, quæ, c b. dimetientis ſemicirculi,
b c d. in hac quam modo dicebamus poſitura, pars erit,
eadem ſecabit lineam. d. f. & ſecet in ſigno. p. at linea. c. g. immo verò. c. l. latus trianguli ad locũ communis ſe-
ctionis cum ſemicirculo deductum, vt expoſitum fuit, ſe-
cet ſemicirculum. d m. f. in. m. id est ſignum quod in ista
trianguli poſitura deſcribit. d. ſit. m. connectantur re-
ctis lineis ſigna. K. b. & . m. n. & . m. p. quibus ſic diſpoſi-
tis, quoniam vter ſemicirculorum. b c K. & . d m f. ad angulos rectos in eodẽ ſubiecto plano erectur est, erit
linea mutuæ ſectionis communis vtri per. 3. & . 4. vn-
decimi, incidens ad angulos rectos in planitiem circuli. B. c d f. perpendicularis dimetienti. d f. & per. 13. ſe-
xti, media proportionalis linearũ. p f. & . p. d. ſit autem
ea. m. p. cuius quadratum per. 17. ſexti, æquum erit pa-
rallelo grammo ex. p. f. & . p. d. lineis. & per. 35. tertii
erit eadem. m. p. media proportionalis inter lineas. c. p.
IN LIB. IX.
& . pn. triangula. m. c. p. & . p. n. m. erunt per. 6. & . 4. ſexti ſimilia & proportionalia, quum ſint anguli ad. p. re-
cti & circum eos later a proportionalia. Sed quoniam an-
gulis. m. n. p. & . c. m. p. ſubtenduntur proportionalia la-
tera. erunt per. 6. ſexti anguli æquales. & per eandem,
angulus, m. c. p. angulo. n. m. p. etiam æqualis, erit per
32. primi & 2. communem ſententiam, angulus. n. m. c. rectus, & triangula. n. m. c. & . n. m. p. & . m. c. p. ad inui-
cem ſimilia. Et rurſus quoniá angulus. K. n. c. rectus est
per hypotheſim, at it a angulo. m. p. c. æqualis, et angulus
n. c. K. communis eſt. K. n. c. & . m. p. c. triangulis, erunt
etiam ea triangula per eaſdem æquiangula, ac omnino ſi-
milia, necnon & triangulum. c. K. b. eiſidem ſimile, quun@
ſit angulus. b. K. c. per. 31. tertii, etiam rectus. Erit igi-
tur ſicut. c. b. ad. c. K. later a trianguli. b. c. K. circũ angu-
lum. b. c. K. ſic per. 4. ſexti. c. K. ad. c. n. quæ circa ſimi-
lem immo eundem. n. c. . K. angulum trianguli. c. K. n. po-
ſita ſunt & æquis angulis in ſimili triágulo ſimiliter ſub-
tenduntur, & per eandem eodem modo ſicut. c. K. ad. c. n. ſic. c. n. ad. c. m. later a trianguli. n. c. m. circum angu-
lum. n. c. m. Sed manifeſtum eſt. c. m. eſſe æqualem. c. d. quum neceſſe ſit. d. & . m. ſigna a. c. coni fastigio æqua-
liter diſtare eo quod in circulo ab vno & eodem ſigno in
coni ſu perficie circũſcripto poſita ſunt, inter. b. c. igitur
& . c. d. inuenta erũt duo media proportionalia. c. K. & . c. n. quod fuer at ostendendũ. Cæterum quoniam problema
non theorema istud eſt, non alienũ erit explicare quo pa-
cto istiuſmodi media per hanc ipſam ratiocinationem non
tam intelligi quam re ipſa inueniri queant, at inuentis
quomodo vti poſſimus, & ſi hoc Eratoſthenes neget, per
GVL. PHIL. ANNOT.
hanc Archytæ traditionem poſſe fieri. Statuam igitur ad
libellam planitiem, deſcriptis in ea, circulo. b. c. d. f. ſu-
per centrũ, q, triangulo, b, c, g. linea, c, d. ac dimetiente, b,
c, quæ oĩa propoſui in plano deſcribi oportere. Inſuper
a ſigno, c, linea, c, h, quæ ſit æqualis, b, q, & congruat ſemi
circulo, b, c, d, his inquam ſic diſpoſitis, construam hemi-
cylindrum, cuius axis non ſit minor, b, g, Baſis verò ſit
ſemicirculus, b, c, d, & huic ſemicirculo bemic ylindrũ im-
ponam, at a ſi gno, h, quod erit in circũferentia ſemicir-
culi, per hemicylindri conuexũ erigam lineã quæ ad ſub-
iectum planũ, perpendicularis ſit, & æqualis, c, h, hoc est,
b, q, & ſit ca, h, s. tum ab. s. ſigno ad ſigna, b, & , c, extre-
ma dimetiẽtis circuli admota per bemicylindri cõuexuve
luti leſbia aliqua regula, vel pro ea, linea, hoc ẽ filo tenui,
deducta, deſcribam per id conuexũ, cylindricam lineam
quæ ſit, b, s, c. rur ſus in eo latere par allelo grammi he-
micylindri, cuius alterũ extremum inſidet ſigno, b, ab eo-
dem ſigno ad altitudinem, b, g, ſignabo ſigno, g, & ab hoc
ad, d, ſignum in plano poſitũ per conuexam ſuperficiem
hemicylindri, ducam lineam cylindricæ ſimilem, quæ cy-
lindricam, b, s, c, ſecabit in aliquo ſigno, & ſecet in ſigno
K, a quo in circuferentiam ſemicirculi b, c, d. lineæ verò
b, s, deducam par allelũ quæ ſit K, n, & connectam ſi gna,
n, & c, recta, c, n, & ponam, n, K, in plano coniunctam, c,
n, ad angulos rectos & perficiam triangulũ, c, n, K, ducta
linea, c, K, & aſſeram per præcedẽtem Archytæ ratioci-
nationẽ eſſe ſicut, b, c, ad c, K. ita c, K. ad c, n, & ſic, c, n. ad c, d, quod oportebat inucnire.
