Full text: Belidor, Bernard Forest: La science des ingenieurs dans la conduite des travaux de fortification et d' architecture civile

85.64. PROPOSITION SECONDE
Proble’me .

Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-droits des
Voûtes Elliptiques ou ſurbaiſſées.

54. Pouravoirune parfaite intelligence de ce Probléme, je con-
ſeille à ceux qui ne ſe ſont point apliqués au Chapitre précédent,
de lire avec attention l’Article 30. où il eſt parlé de la maniere de
tracer une Ellipſe, ce qui leur ſuffira pour me ſuivre.

Ayant une Voûte Elliptique comme dans la figure 8. dont on
connoît les demi axes BH & HD, on commencera par diviſer le
quart d’Ellipſe BD en deux également au point L, duquel on abaiſ-
ſera ſur DH & HB les perpendiculaires LK & LV, dont on cher-
chera la valeur avec le ſecours de l’échelle; & ſupoſant que BH
ſoit de 12 pieds, & HD de 8, on trouvera que LK ou VH eſt de 7
pieds 6 pouces, & LV ou KH de 6 pieds 3 pouces; & faiſant la
hauteur BS du pié-droit de 15 pieds, comme à l’ordinaire, il faut
pour en avoir l’épaiſſeur ſe propoſer cinq opérations.

85.64.1.

Planch .
5.
Fig . 8.

Pour la premiere, il faut dire, comme le quarré de DH (de 64
pieds) eſt au quarré de BH (de 144,) ainſi la ligne KH (de 6 pieds
3 pouces) eſt à la ligne KA, qu’on trouvera de 14 pieds 9 lignes,
qui eſt le premier terme dont nous avons beſoin.

Pour la ſeconde opération, il faut chercher la ſuperficie des
deux Ellipſes, dont la premiere auroit pour demi axe BH & HD,
(de 12 pieds & de 8,) & la ſeconde pour demi axe HE & HG,
(de 15 & de 4, parce qu’on ſupoſe que la Voûte a encore 3 pieds
d’épaiſſeur,) on retranchera la petite Ellipſe de la grande, & on
prendra le quart de la difference (que l’on trouvera de 54 pieds)
qu’il faut diviſer par la hauteur du pié-droit, le quotient ſera 3 pieds
2 pouces 4 lignes, pour le ſecond terme.

Pour la troiſiéme opération, il faut ajoûter la ligne LV (qu’on
a trouvée de 6 pieds 3 pouces) à la hauteur du pié-droit, (pour
avoir 21 pieds 3 pouces) qu’il faut multiplier par le premier terme
(14 pieds 9 pouces) & diviſer le produit par la valeur de LK) qui
eſt de 7 pieds 6 pouces,) le quotient ſera d’environ 41 pieds 10
pouces pour le troiſiéme terme.

A l’égard de la quatriéme, il faut ajoûter le ſecond terme au LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. troiſiéme (pour avoir 41 pieds 10 pouces,) qu’on multipliera par
la valeur du ſecond, (c’eſt-à-dire par 3 pieds 2 pouces,) & le pro-
duit ſera à peu-près 144, pour le quatriéme terme.

Enfin, la cinquiéme opération ſe fera en extrayant la racine quar-
rée du quatriéme terme, (ce qui ſera de 12 pieds) de laquelle il
faut ſouſtraire le ſecond, (3 pieds 2 pouces 4 lignes,) & la diffe-
rence donnera 8 pieds 9 pouces 8 lignes, pour l’épaiſſeur des piés-
droits.

85.65. Remarque.

55. Si l’extrados de la Voûte, au lieu d’être Elliptique, étoit ter-
miné par deux plans 5. 6. & 5. 4. comme on le pratique aux Ma-
gaſins à Poudre & aux Souterains, il faudroit, au lieu de ſuivre ce
qui eſt dit dans la ſeconde opération, chercher la ſuperſicie du qua-
drilataire AF 5. 3. (formé par l’angle F 5. 3. & les deux lignes AF
& A 3. qui ont été tirées des points L & 2 milieux des quarts d’El-
lipſes DB & D 7. au point A que l’on a trouvé par la premiere
opération,) en ſouſtraire la figure mixtiligne ALD 2. & diviſer le
reſtant par la hauteur du pié-droit aſin d’avoir un quotient qui don-
nera le ſecond terme: quant aux autres opérations, elles ſont les mê-
mes que celles dont nous venons de parler.

85.65.1.

Fig . 8.

85.66. PROPOSITION TROISIE’ME.
Proble’me .

Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-droits des
Voûtes en tiers-points.

56. Ayant une Voûte en tiers-point dont on veut connoître l’é-
paiſſeur des piés-droits, il faut ſavoir d’abord à quelle diſtance les
centres G & H, qui ont ſervi à décrire les deux arcs de la. Voûte,
ſont du point A milieu de BI, leur poſition étant arbitraire dépen-
dant du plus ou moins d’élevation qu’on veut donner à la Voûte,
il faut ſavoir comme onles a déterminés & toûjours dans la ligne BI; car s’ils étoient au-deſſus ou au-deſſous commeje l’ai vû dans quel-
que ouvrage aſſés mal conçû, la Voûte ſeroit très-deffectueuſe, parce
que ſon impoſte feroit un jarret avec le pié-droit, & auroit beau-
coup moins de force pour réſiſter au choc des Bombes, ſi on la
conſtruiſoit pour couvrir un Magaſin à Poudre ou quelqu’autre Edi- LA SCIENCE DES INGENIEURS, fice Militaire. Nous ſupoſerons donc qu’ils ſont dans le milieu des
lignes BA & AI, qui étant chacune de 12 pieds HB ou HD ſera
de 18, & HA de 6. de l’autre côté faiſant la Voûte de 3 pieds d’épaiſ-
ſeur, & donnant encore 15 pieds à la hauteur BS des piés-droits, on
trouvera le reſte en ſuivant les cinq opérations que voici.

85.66.1.

Planch .
6.
Fig . 1.

Pour la premiere opération, il faut chercher par la trigonome-
trie l’angle AHD du triangle rectangle DAH, duquel on connoît
les deux côtés DH & HA, (& on trouvera qu’il eſt de 70 degrès
30 minutes.

Pour la ſeconde, il faut chercher la ſuperficie des deux cercles
qui auroient pour raïon HB & HE (de 18 & de 21 pieds,) en pren-
dre la difference (qu’on trouvera de 368 pieds quarrés,) enſuite
dire, comme 360 degrés eſt à la valeur de l’angle DHB (de 70 de-
grés 30 minutes, que l’on a trouvé dans l’opération précédente,)
ainſi la difference des deux cercles (368) eſt à un quatriéme terme
(qu’on trouvera de 71 pieds 6 pouces 8 lignes) qu’il faut diviſer
par la hauteur (15) des piés-droits, & le quotient ſera 4 pieds 9
pouces 3 lignes, pour le premier terme.

Pour la troiſiéme, on tirera la ligne HF par le milieu C de l’arc
BD (qui donnera 35 degrés 15 minutes pour l’angle LHV, par
la premiere opération) & du point L milieu de FC, on abaiſſera
la perpendiculaire LV, on aura le triangle rectangle LVH, duquel
on connoît les angles & le côté HL (de 19 pieds & demi,) ainſi
par les calculs ordinaires on trouvera 11 pieds 3 pouces pour le
côté LV, & 16 pieds pour l’autre VH; & pour ne pas confondre
ces deux grandeurs dans les calculs ſuivans, nous nommerons 11
pieds 3 pouces, ſecond terme, & 16 pieds, troiſiéme terme.

Pour la quatriéme opération, il faut ajoûter le ſecond terme (11
pieds 3 pouces) à la hauteur du pié-droit (& l’on aura 29 pieds 3
pouces,) qu’on multipliera par le ſecond terme même; c’eſt-à-
dire par 11 pieds 3 pouces,) diviſer le produit (295 pieds 4 pou-
ces,) par le troiſiéme (j’entends par 16 pieds, ajoûter le quotient
(18 pieds 5 pouces 6 lignes) au premier terme, (4 pieds 9 pou-
ces 3 lignes) & multiplier la ſomme (qui eſt 23 pieds 2 pouces
2 lignes) par le premier terme (4 pieds 9 pouces 3 lignes,) le pro-
duit ſera environ (110 pieds 9 pouces 9 lignes) pour le quatriéme
terme.

Enfin, pour la cinquiéme opération, on extraira la racine quarrée
du quatriéme terme; (c’eſt-à-dire de 110 pieds 9 pouces 9 lignes,
qu’on trouvera d’environ 10 pieds 6 pouces 2 lignes) d’où il faut
ſouſtraire le premier terme, (4 pieds 9 pouces 3 lignes,) la diffe- LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. rence ſera 5 pieds 8 pouces 11 lignes, qui eſt l’épaiſſeur qu’il faut
donner aux piés-droits.

85.67. Remarque.

57. Si l’extrados de la Voûte, au lieu d’être curviligne comme
nous le venons de ſupoſer, étoit terminé par deux plans 5. 4. & 5. 6. il faudroit dans la ſeconde opération chercher la valeur du qua-
drilataire QF 5. 3. (formé par l’angle F 5. 3. & les deux lignes QF
& Q 3, qui ont été tirées des centres G & H, pour diviſer les arcs
DB & DI en deux également) en retrancher la figure mixtiligne
QCD2, & diviſer le reſtant par la hauteur du pié-droit, le quotient
ſera le premier terme. A l’égard des autres opérations, elles doivent
être de même que les précédentes.

85.68. PROPOSITION QUATRIE’ME.
Proble’me .

Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-droits qui
ſoûtiendroient une Plate-Bande.

58. La Plate-Bande eſt une eſpece de Voûte qui a la figure d’un
Plat-Fond; ſon uſage le plus ordinaire eſt d’être employée dans les
grands édifices, où il y a des periſtiles, comme au vieux Louvre à
Paris, ou bien on s’en ſert aux Portes-Cocheres; & alors comme
cette Voûte a beaucoup de pouſſée, on peut, pour la ſoulager du
poids qu’elle auroit à porter, faire un arc de décharge comme je
l’ai dit ailleurs. Mr. Abeille, Ingenieur du Canal de Picardie, a ima-
giné une conſtruction de plate-bande fort ingenieuſe; la coupe des
Clavaux en eſt ſinguliere, & contribuë beaucoup à diminuer la pouſ-
ſée queles piés-droits auroient à ſoûtenir: j’en aurois volontiers fait
la deſcription, ſi elle étoit venuë à ma connoiſſance avant que les
Planches de ce ſecond Livre fuſſent gravées.

85.68.1.

Planch
6.
Fig . 2.

Quand on veut conſtruire une plate-bande LDEF, on décrit ſur
la ligne LF qui en doit déterminer l’étenduë, un triangle équilateral
LAF, dont le point A ſert de centre pour trouver la coupe des Cla-
vaux, ainſi les lignes LD & EF, (qui ne ſont autre choſe que les
côtés du triangle prolongé,) marquent les joints des deux derniers
Clavaux qui s’apuyent ſur les couſſinets, deſorte que c’eſt le Trapeze
LDEF, qui cauſe la pouſſée que les piés-droits ont à ſoûtenir: or ſi
l’on ſupoſe la ligne LF de 24 pieds, l’épaiſſeur CK de 3, & la hau- LA SCIENCE DES INGENIEURS, teur LS des piés-droits de 15, il faut pour en trouver l’épaiſſeur ſe
propoſer quatre opérations.

La premiere eſt de chercher la valeur de la perpendiculaire AK
par le moyen du triangle LAK, dont le côté LA étant double de
LK, l’un ſera de 12, & l’autre de 24, qui donneront 20 pieds 9 pou-
ces 4 lignes pour KA, que nous nommerons premier terme.

La deuxiéme, eſt de chercher la ſuperficie du Trapeze LDCK,
(que l’on trouvera d’environ 38 pieds 3 pouces,) qu’il faut diviſer
par la hauteur du pié-droit (qui eſt de 15) & l’on aura 2 pieds 6 pou-
ces 7 lignes, pour le ſecond terme.

Pour la troiſiéme il faut diviſer la valeur de la ligne AK, (c’eſt-
à-dire 20 pieds 9 pouces 4 lignes,) par le quart de la largeur LF
de la plate-bande (qui eſt 6) multiplier le quotient (3 pieds 5 pou-
ces 6 lignes,) par la ſuperficie du Trapeze LDCK (que l’on a trou-
vé dans la ſeconde opération de 38 pieds 3 pouces) & le produit ſera
2 pieds 3 pouces 4 lignes, pour le troiſiéme terme.

Enfin, pour la quatrieme opération, il faut quarrer le 2 e terme
(2 pieds 6 pouces 7 lignes) & ajoûter le produit (6 pieds 5 pouces
9 lignes) au troiſiéme, (2 pieds 3 pouces 4 lignes) de la ſomme (qui
eſt 138 pieds 9 pouces 1 ligne) extraire la racine quarrée (qui ſera
de 11 pieds 9 pouces 4 lignes,) de laquelle retranchant la valeur du
ſecond terme, (j’entends 2 pieds 6 pouces 7 lignes) la difference
9 pieds 2 pouces 9 lignes, ſera l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-
droits pour ſoûtenir la pouſſée de la plate-bande dans l’état d’équili-
bre.

85.69. Remarque.

58. Quoique les Regles, que nous venons d’enſeigner dans les qua-
tre Problémes précédens, ayent donné un peu plus d’épaiſſeur
qu’il ne faloit aux piés-droits pour être en équilibre avec la pouſſée
qu’ils avoient à ſoûtenir, on prendra garde que cette petite augmen-
tation ne ſuffit pas dans la pratique où il faut que la puiſſance ré-
ſiſtante ſoit toûjours beaucoup au-deſſus de celle qui agit, afin que
l’ouvrage en ſoit plus ſolide; c’eſt pourquoi il eſt à propos d’en aug-
menter l’épaiſſeur d’un ſixiéme de ce qu’on aura trouvé par le cal-
cul; ou bien, ſi on l’aime mieux, on pourra ſans y faire aucune aug-
mentation fortifier les piés-droits par des contreſorts, qui eſt le par-
ti le plus convenable & le plus conſorme à l’uſage, du moins quand
il s’agit des ouvrages qui ont raport à la Fortification, étant les ſeuls
que j’ai enviſagé. Car j’aurois pû dans les Chapitres précédens, auſſi-
bien que dans celui-ci, parler de la conſtruction des Voûtes des Egliſes LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. & de celles des autres Edifices qui demandent de la légereté & une
certaine hardieſſe; peut-être même que les idées que j’ai là-deſſus
pourroient meriter l’attention des Curieux, principalement des Ar-
chitectes; mais, je n’ai pas voulu m’écarter de mon ſujet, ni trop
m’étendre ſur ce qui auroit pû me diſtraire des autres parties qui
doivent compoſer la ſuite de mon ouvrage.

Je ne dirai rien non plus de la maniere de déterminer la longueur
des contreforts par raport a leur épaiſſeur & leur diſtance, parce
que je n’aurois pû le faire que par des opérations très compoſées; mais comme on peut s’en paſſer, puiſque les perſonnes qui ſont dans
l’uſage de faire travailler ont ordinairement aſſés de connoiſſance
pour prendre d’eux-mêmes de juſtes meſures, les quatre propoſitions
précédentes leur ſuffiront.

85.70. PROPOSITION CINQUIE’ME.
Proble’me .

Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux Culées des Ponts
de Maçonnerie pour ſoûtenir en équilibre la pouſſée des Arches.

59. Voulant faire un Pont compoſé d’une Arche en plain-ceintre
BDI, il faut élever ſur le ceintre A la perpendiculaire AG & diviſer
le quart de cercle BD en deux également par le raïon AF; enſuite
mener la ligne MK paralelle à EA, enſorte qu’elle paſſe par le point
L milieu de l’épaiſſeur FC de l’Arche, & alors elle déterminera la
hauteur la plus convenable qu’il faut donner à la Culée MPSQ. Or
ſupoſant le raïon AB de 36 pieds, l’epaiſſeur FC ou GD de 6, & la
hauteur BS de 12, on trouvera l’épaiſſeur PS de la Culée en faiſant
les quatre opérations ſuivantes.

85.70.1.

Planch .
6.
Fig . .6

Pour la premiere, il faut quarrer la ligne AL (de 39 pieds) pren-
dre la moitié du produit & en extraire la racine (qu’on trouvera
de 27 pieds 7 pouces) pour avoir la valeur de chaque côté LV ou
VA du triangle rectangle LAV, & l’on aura en même tems la
partie BV (de 8 pieds 5 pouces qu’il faut écrire à part, parce qu’on
en aura beſoin dans la troiſiéme opération,) enſuite ajoûter enſem-
ble les lignes LV & BS, pour avoir la hauteur MP de la Culée de
39 pieds 7 pouces, qui ſera le premier terme.

Pour la ſeconde, il faut chercher la valeur des deux cercles des
raïons AD & AG, (c’eſt-à-dire, de 36 & de 42 pieds,) en prendre
la difference, & la huitiéme partie de cette difference (qu’on trou- LA SCIENCE DES INGENIEURS. vera de 184 pieds quarrés,) qu’il faut diviſer par le premier terme
(j’entends par 39 pieds 7 pouces) & le quotient donnera 4 pieds
7 pouces 9 lignes, pour le ſecond terme.

Pour la troiſiéme, il faut ſouſtraire la partie BV (de 8 pieds 5
pouces qu’on a trouvé dans la premiere opération) du premier ter-
me (39 pieds 7 pouces,) la difference (31 pieds 2 pouces)
doubler & l’on aura 62 pieds 4 pouces, pour le troiſiéme terme.

Enfin, pour la quatriéme, il faut ajoûter le ſecond terme (4 pieds
7 pouces 9 lignes,) au troiſiéme (62 pieds 4 pouces, pour avoir
66 pieds 11 pouces 9 lignes) qu’on multipliera par le ſecond terme,
& extraire la racine quarrée du produit (311 pieds qu’on trouvera de
17 pieds 7 pouces 9 lignes,) de laquelle retranchant le ſecond
(4 pieds 7 pouces 9 lignes) la difference ſera 13 pieds, pour l’épaiſ-
ſeur de la Culée, & ſi on l’augmente d’une ſixiéme, ſuivant la Remar-
que précédente, il faudra lui douner 15 pieds 2 pouces pour mieux
ſoûtenir le poids de la Chauſſée du Pont & les Voitures qui paſſe-
ront deſſus.

85.71. Remarque.

Quoique les calculs précédens ſoient bien aiſés, j’en aurois vo-
lontiers diſpenſé ceux qui n’en ont pas l’habitude, ſi j’avois pû donner
des Tables pour trouver l’épaiſſeur des piés-droits des Voûtes dans
toute ſorte de cas; mais, c’eſt ce qui ne m’a pas parû poſſible, à cauſe
que les Edifices où on les employe ſont ſujets à une infinité de cir-
conſtances differentes, ſoit de la part de leur figure, ou de leur
ſolidité, ſelon les uſages auxquels on les deſtine: & ſi l’on ſavoit ce
qu’il m’en a coûté pour reduire la Théorie aux Pratiques que je viens
d’enſeigner, l’on conviendroit que tout bien conſideré on n’a pas lieu
d’être mécontent de moi, puiſque j’ai fait tout ce qui étoit en mon
pouvoir pour m’accommoder aux differens genies de mes Lecteurs,
comme on s’en apercevra encore mieux dans la ſuite.

0172-01
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