Full text: Belidor, Bernard Forest: La science des ingenieurs dans la conduite des travaux de fortification et d' architecture civile

85.30. Troiſiéme Principe.

27. Si au point H, où une tengente HI, touche l’Ellipſe on éle-
ve une pérpendiculaire HK qui aille rencontrer l’axe AB au point
K, je dis que FG eſt à GK comme le quarré de AF eſtau quarré de
FD, ou, ce qui revient au même, comme le rectangle de AG par
GB eſt au quarré GH.

Pour le prouver, conſiderés que les triangles IGH & GHK, ſont
ſemblables, par conſéquent IG ({aa-xx/x}), GH (yy) : : GH
(y); GK{(yy)/aa-xx; /x} ou ce qui eſt la même choſe {yyx/aa-xx}; comme
nous avons l’expreſſion de KG, il n’eſt donc queſtion que de prouver
que GF (x) eſt à GK ({yyx/aa-xx}) commele rectangle de AG par GB
(aa-xx) eſt au quarré de GH (yy), ce qui eſt bien évident, puiſ-
que le produit des extrémes & celui des moyens donnent l’un & l’autre yyx; car on remarquera que c’eſt multiplier le ſecond terme
yyx par aa-xx que de ne le pas diviſer par la même quantité.

Comme les propriétés de l’Ellipſe ſont toujours les mêmes, ſoit
que la tengente aille rencontrer le grand axe AB prolongé, ou le
petit axe DE auſſi prolongé, l’on verra par une démonſtration ſem-
blable à la précédente, que ſi la perpendiculaire élevée ſur la tengen-
te IO alloit rencontrer le petit axe ED au point L, l’on auroit encore
le quarré de EF eſt au quarré de AF comme la coupée MF eſt à la
ligne ML.

85.31. Corollaire Premier .

28. Il ſuit du premier principe, que quand on connoîtra les deux
diamêtres AB & ED d’une Ellipſe, & la diſtance du centre F au point
G où on aura mené une ordonnée GH, qu’on connoîtra toujours
la valeur de cette ordonnée en nombre, en diſant ſi le quarré du
demi diamêtre AF donne tant pour le quarré du diamêtre FD, que
donnera la difference du quarré de AF au quarré FG, pour le quarré
GH que l’on cherche? lequel étant trouvé, on n’aura qu’à en ex-
traire la racine quarrée, qui ſera la perpendiculaire GH.

85.32. Corollaire Second .

29. Il ſuit auſſi du troiſiéme principe, que ſi on avoit beſoin de LA SCIENCE DES INGENIEURS, connoître la valeur de la partie ML, compriſe entre l’ordonnée HM
& la perpendiculaire HL élevée à l’extremité de la tengente IH,
on n’aura qu’à dire ſi le quarré EF donne le quarré FB, que don-
nera la ligne FM pour la valeur de la ligne ML; ce qu’on trouvera
en faiſant la régle.

85.33. Remarque.

30. Comme l’on ne parvient avec le ſecours de l’Algebre à la
connoiſſance des grandeurs que l’on cherche, que par le moyen
de celles que l’on connoît déja, il faut néceſſairement, pour déter-
miner l’épaiſſeur des piés-droits qui ſoûtiennent les Voûtes Ellipti-
ques, connoître certaines lignes qu’on ne peut avoir que mécani-
quement (c’eſt-à-dire) en traçant une demi Ellipſe ſemblable à celle
dont on veut faire la Voûte; & comme les Ellipſes en pareil cas ne
ſauroient être trop grandes, afin d’avoir ce que l’on demande avec
plus de préciſion; voici comme on s’y prendra.

85.33.1.

Fig . 6.

Ayant tracé ſur le parquet d’une Chambre ou ſur une grande
Table uneligne AB de 5 à 6 pieds de longueur, pour ſervir de grand
axe, on la diviſera en deux également au point D, & à ce point
on élevera la perpendiculaire DC dont la longueur doit avoir le
même raport avec la ligne AB, que la hauteur de la Voûte dans œu-
vre qu’on ſe propoſe de faire, aura avec ſa largeur: enſuite il faut
tirer les lignes CE & EF, enſorte qu’elles ſoient chacune égales à la
moitié du grand axe AB, afin d’avoir les points E & F, qui ſeront
les foyers de l’Ellipſe: après cela, l’on aura de la ficelle bien fine
& bien unie ou un cordon de ſoye, & on prendra dans cette ficelle
une longueur qui ſoit parfaitement égale à l’axe AB, on attachera
les deux extrêmités de cette longueur aux points E & F, & on ſe
ſervira d’un poinçon pour tenir la ficelle tenduë, avec lequel on
tracera en même tems la courbe AGHB en allant du point A au
point C, & du point C au point B; car l’on entend bien que cette
ficelle doit gliſſer autour du poinçon G, & qu’elle doit être toûjours
également tenduë: cette maniere de tracer l’Ellipſe eſt la plus com-
mode que je ſache; j’ay jugé à propos de la raporter ici, quoiqu’elle
ſoit aſſés connue; mais ce n’eſt point un mal de rendre les choſes
préſentes, quand on rencontre les occaſions d’en faire uſage.

L’Ellipſe étant tracée, il faut faire une échelle & avoir égard à la
quantité des pieds qu’on veut donner de largeur à la Voûte; ſic’eſt
par exemple 24 pieds, je diviſe la ligne AB en quatre parties égales
& une de ces parties étant diviſée en pieds, pouces, & lignes, on
connoîtra la valeur des lignes qu’on ſera obligé de tracer dans LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. l’Ellipſe. Par exemple, ſi on avoit quelque raiſon pour abaiſſer du
point H, pris ſur la courbe la perpendiculaire HI, à l’axe AB,
on pourra avec l’échelle trouver la valeur de la coupée DI, & de
l’ordonnée IH, en pieds pouces & lignes auſſi exactement qu’on
peut le déſirer dans la Pratique. Nous allons faire uſage de tout
ceci.

85.33.1.

Fig . 6.

85.34. PROPOSITION PREMIERE.
Proble’me .
Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-droits d’une
voûte Elliptique.

31. Comme la pouſſée d’une Voûte ſe fait toujours ſelon les di-
rections des tangentes menées à la courbe qu’elle forme, il faut com-
mencer par diviſer le quart d’Ellipſe BD, en deux également au
point L, pour mener à ce point la tangente LO, & ſur l’extrêmité
L, lá perpendiculaire LA, qui étant prolongée juſqu’en F, parta-
gera comme à l’ordinaire la demi Voûte en deux parties à peu-près
égales; alors la ligne FA, pourra être regardée comme le plan in-
cliné ſur lequel agit le vouſſoir FGDL, & la ligne OL, comme la
direction de la puiſſance qui ſeroit en équilibre avec l’action du
même vouſſoir: on ſera peut-être ſurpris que cette direction ne ſoit
pas perpendiculaire ſur le milieu du joint FL, comme dans lespro-
blémes précédents; mais comme il falloit neceſſairement qu’elleré-
pondit au point L, pour avoir les lignes LK, LV, KA, nous avons
été obligé d’en uſer ainſi afin d’agir avec plus de préciſion, mais
nous y aurons égard dans l’application; ainſi ſupoſant les autres li-
gnes tirées comme ci-devant, nous nommerons LK, a; KA, b; LA, c; BV, d; BS, f; MP, g; ZB, y; & le vouſſoir CG, ou CE,
nn.

85.34.1.

Fig . 8.

Cela poſé, je conſidere que les triangles LKA & LMN, étant
ſemblables donnent AK (b), LK (a): : LM (y+d), MN({ay+ad/b})
par conſequent NP ſera {gb-ad-ay/b}, & commelestriangles LKA
& NOP, ſont encore ſemblables on aura auſſi LA(c), AK (b): : NP
({gb-ad-ay/b}), PO ({gb-ad-ay/c}) qui donne l’expreſſion du LA SCIENCE DES INGENIEURS, bras de lévier PO, preſentement pour avoir l’expreſſion de la puiſ-
ſance O, je conſidere que la peſanteur abſoluë du vouſſoir LGD,
eſt à ſon effort ſur le joint FL, comme LK (a) eſt à LA (c), & qu’ainſi il faudra multiplier {cnn/a} par le bras de lévier PO, qui donne
{gbnn/a}-nnd-nny pour l’expreſſion de la pouſſée de la Voûte par
raport au point d’apui P, d’un autre côté pour avoir celle de la ré-
ſiſtance du pié-droit PB, jointe au vouſſoir FB, je multiplie le
rectangle PB (fy) par PT ({y/2}) & la ſuperficie du vouſſoir FB (nn)
par le bras de lévier PS (y); (car je ſupoſe que la ligne de direc-
tion tirée du centre de gravité Q, tombe à peu-près au point S, ce
vouſſoir étant beaucoup plus incliné que dans la Voûte en plein
ceintre) ainſi ajoûtant ces deux produits enſemble pour les com-
parer avec la pouſſée de la Voûte, il vient cette équation {gbnn/a}
-dnn-nny={fyy/2}+nny, laquelle étant réduite, diviſée par f,
& multipliée par 2, il vient {2gbnn/af}-{2dnn/f}=yy-{4nny/f}: or chan-
geant le ſecond membre en un quarré parfait, & dégageant l’in-
connu, on aura {2gbnn/af}-{2dnn/f}+{4n+/ff}-{2nn/f}=y, qui donne ce
que l’on cherche.

85.35. APLICATION.

Pour raporter le Probleme précédent à la pratique, il faut com-
mencer par tracer une grande Ellipſe comme on l’a enſeigné dans
l’Article 36. Enſorte que les deux demi axes ſoient dans la raiſon
des lignes HB & HD; par exemple ſi la largeur de la Voûte dans
œuvre étoit de 24 pieds, & que la hauteur DH, fut les deux tiers
de cette même largeur, BH ſeroit de 12 pieds, & DH de huit; or
diviſant un quart de cette Ellipſe en deux également, on abbaiſſera
du point de diviſion une perpendiculaire comme LV, dont il ſera
aiſé de connoître la valeur par le moyen de l’échelle auſſi-bien que
de la ligne VH ou LK, ayant donc fait moi-même ce que je viens
de dire, j’ai trouvé que LV ou KH, étoit de 6 pieds 3 pouces,
& que LK ou VH, étoit de 7 pieds 6 pouces; & comme il faloit
auſſi connoître KA, j’ai dit ſelon l’Article 29. comme le quarré de
DA eſt au quarré de HB, de même la ligne KH eſt à la ligne KA,
que j’ai trouvée de 14 pieds 9 lignes.

85.35.1.

Fig . 8.
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