Full text: Belidor, Bernard Forest: La science des ingenieurs dans la conduite des travaux de fortification et d' architecture civile

85.3. Corollaire Second .

4. Il ſuit encore que connoiſſant les trois côtés du triangle IKL,
avec une des trois puiſſances, on pourra connoître les deux autres
puiſſances; car ſi (par exemple) l’on a la puiſſance P, & qu’on
veüille connoître la ſeconde Q, on n’aura qu’à dire comme le côté
KI, eſt au côté KL, ainſi la puiſſance P, eſt à la puiſſance Q, que
l’on trouvera par la régle de proportion auſſi-bien que la troiſiéme
puiſſance R.

85.3.1.

Fig . 4.

85.4. Corollaire Troisie’me .

5. Dans les triangles les ſinus des angles étant dans la même rai-
ſon que leurs côtés opoſés, on peut ajoûter encore que ſi l’on avoit
un triangle IKL, dont les trois côtés fuſſent en mêmé raiſon que
les puiſſances PQR, ſi on ne connoiſſoit pas ces côtés, il ſuffiroit
de connoître la valeur des angles qui leur ſont opoſés, parce que
les ſinus de ces angles pouvant être pris pour les côtés mêmes, ils
exprimeront plus exactement le raport en nombre, & par conſé-
quent les puiſſances, deſorte que ſi on connoiſſoit la valeur de la
puiſſance Q, & les trois angles I, K, L, on trouvera les deux au-
tres puiſſances P & R, en ſe ſervant des Tables de Sinus.

85.5. Corollaire Quatrie’me .

6. Il ſuit enfin que ſi on a trois puiſſances, dont deux priſes
enſemble ſoient plus grandes que la troiſiéme, connoiſſant le
raport de ces trois puiſſances, on pourra déterminer ſelon quelle
direction chaque puiſſance doit tirer ou pouſſer, pour qu’agiſſant
toutes enſemble autour d’un point, elles ſoient en équilibre, puiſ-
que pour cela il ne faut que ſe donner trois lignes qui ayent entre
elles le même raport que les trois puiſſances en queſtion, enſuite
faire un triangle de ces trois lignes; après quoi ſi d’un point quel-
conque pris dans la ſuperficie du triangle, l’on abbaiſſe des perpen-
diculaires ſur les côtés, elles détermineront les directions, ou, ce qui
eſt la même choſe, les angles que les puiſſances doivent former
entr’elles.

85.6. Remarque premiere.

7. Il n’eſt pas neceſſaire que les trois puiſſances P, Q, R, ti-
rent ou pouſſent toutes trois enſemble le point H, pour être en LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. équilibre, il peut y en avoir deux qui tirent, & une autre qui le
pouſſe en ſens contraire.

85.7. Remarque ſeconde.

8. On prendra garde auſſi que ce n’eſt pas une neceſſité que les
trois côtés du triangle, qui déterminent le raport des puiſſances,
ſoient coupés par les lignes de directions de ces puiſſances, ni que le
point où ces puiſſances concourent ſoit renfermé dans ce triangle,
puiſqu’il ſuffit que les côtés prolongés du triangle ſoient coupés en
angles droits; par exemple, ſi les côtés du triangle MKN, ſont diſ-
poſés de façon que quelqu’un d’eux, comme KM & KN, étant pro-
longés vers I & vers L, coupent les directions HP & HQ, a an-
gles droits & que la direction HR, prolongée vers O, aille couperle
côté MN, auſſi à angles droits, je dis que les côtés du triangle MKN,
détermineront encore le rapport des puiſſances, quoique le point
H ne ſoit point dans ce triangle; car les choſes étant telles que nous
le ſupoſons, les lignes MN & IL ſeront paralelles, puiſqu’elles ſont
toutes deux coupées à angles droits par la ligne OR: par conſe-
quent le triangle MKN ſera ſemblable à IKL; or ſi les côtés de ce
dernier expriment le raport des trois puiſſances PQR, comme nous
l’avons fait voir ci-devant, ceux de l’autre MKN, exprimeront
auſſi le même raport; ainſi le petit triangle pourra tenir lieu du
grand.

85.8. Remarque troiſiéme.

9. Si l’on avoit un corps F, poſé ſur un Plan incliné BC, il eſt
conſtant que (telle que ſoit la figure de ce corps) il ne ſe main-
tiendra point en repos à moins qu’une puiſſance Q, ne le ſoûtien-
ne; or ſi l’on vouloit ſavoir quel eſt le raport de la puiſſance au
poids dans la ſituation où ſe trouve cette puiſſance, il faut conſi-
derer d’abord qu’au lieu d’une puiſſance, nous en pouvons conce-
voir trois. La premiere ſera la péſanteur abſoluë du corps, qui tend
au centre de la Terre ſelon une direction FG, qui, paſſant dans ſon
centre de gravité, eſt perpendiculaire à l’horiſon. La ſeconde ſera
l’effort que ce corps fait ſur le Plan ſi l’on prolonge la ligne FD
juſqu’en R, on peut concevoir la ligne DR comme la direction
d’une puiſſance qui pouſſe de P en D, pour faire équilibre à l’ef-
fort que ſoûtient le Plan incliné. La troiſiéme ſera la puiſſance Q,
qui empêche le corps de tomber. Cela poſé, ſi l’on prolonge la li-
gne de direction GF du poids juſqu’en O, & qu’on la coupe à LA SCIENCE DES INGENIEURS, angles droits par ligne HI; & de même la direction EQ, par la
ligne IK, on aura le triangle HIK, dont le côté HK éxprimera la
puiſſance P, puiſqu’il coupe à angles droits la ligne de direction
RF; le côté HI exprimera la péſanteur abſolue du poids F; & le
côté IK, la puiſſance Q, dans le cas où le tout ſeroit en équilibre; par conſéquent on peut dire que la péſanteur abſolue du poids F, eſt
à la puiſſance Q, comme le côté HI, eſt au côté IK: d’autre part la
péſanteur abſolue du poids eſt à la puiſſance Q, & à l’effort que ſoû-
tient le plan incliné, ou la puiſſance P, comme HI eſt à HK; ainſi
quand on connoîtra la péſanteur du poids F, & le ſinus des angles
du triangle HIK, on pourra donc connoître l’effort que font les
deux puiſſances P & Q.

85.8.1.

Fig . 4.

Il faut s’apliquer à bien entendre cette derniere Remarque rélati-
vement à ce qui a été dit dans les articles qui précédent, parce qu’elle
contribuëra beaucoup à faciliter l’intelligence de ce que nous avons
à enſeigner par la ſuite; c’eſt ainſi que l’eſprit préparé à ce qu’on a
deſſein de lui inſinuer, les choſes qui lui paroiſſoient les plus com-
pliquées, lui deviennent ſenſibles dès qu’il apperçoit quelque jour
où il peut ſe reconnoître.

85.9. CHAPITRE SECOND.
De la maniere de calculer l’épaiſſeur de piés-droits des Voûtes
en plain ceintre, pour être en équilibre par leur réſiſtance
avec la pouſſée qu’ils ont à ſoûtenir.

10. LA neceſſité de ſe ſervir de mortier dans la conſtruction de
la maçonnerie, & principalement dans celle des Voûtes,
pour lier les Pierres, fait qu’on peut ſe diſpenſer de calculer la
pouſſée de tous les vouſſoirs, chacun en particulier; il ſuffit d’en
conſiderer une certaine quantité, comme ne faiſant enſemble qu’un
ſeul vouſſoir, afin d’éviter l’extrême longueur des calculs qu’on ſeroit
obligé de faire, ſi l’on en uſoit autrement; car les ſujets qui ſe ra-
portent à la pratique doivent être conſiderés relativement à ce qu’ils
ſont dans l’execution, & non pas tout-à-fait comme l’imagination
nous les repreſente: par exemple, l’on remarque que quand les piés-
droits d’une Voûte ſont trop foibles pour en ſoûtenir la pouſſée,
la Voûte ſe fend vers le milieu des reins; c’eſt-à-dire entre l’impoſte LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. & la clef; ainſi ayant une Voûte en plain ceintre BDI, dont cha-
que quart de cercle BD & DI, ſoit diviſé en deux également au point
C & H, l’experience montre que c’eſt toûjours aux endroits FC & H & c. que la Voûte ſe deſunit quand ſa pouſſée eſt au-deſſus de la
réſiſtance des piés-droits. Or, puiſque le plus foible d’une Voûte eſt
vers le milieu des reins, il eſt donc naturel de ſupoſer que c’eſt-là
où ſe fait toute l’action de la pouſſée, & de conſiderer les deux par-
ties de la Voûte CG & CE, (que nous nommerons vouſſoirs) comme
ne compoſant qu’une ſeule pierre, chacune en particulier, dont l’une
CE eſt parfaitement liée avec ſon pié-droit BP, & l’autre CG agit
comme un coin qui ſeroit introduit entre les deux plans FA & GA
pour les ſéparer; ou bien l’on pourra prendre toute la partie ſupe-
rieure CGH de la Voûte, qui tend à ſéparer comme un coin les deux
Plans AF & A & c. & dans ce ſens, ce ſera cette partie qui cauſera
toute la pouſſée; la moitié CG agira pour écarter le corps P FCS,
(compoſé du pié-droit PB & du vouſſoir EC, comme je l’ai inſi-
nué d’abord) & alors il ſuffira pour calculer cette pouſſée de n’a-
voir égard qu’à la moitié de la Voûte depuis le point d’apui P, juſ-
qu’au ſommet DG, puiſque l’on concevra la même choſe pour l’au-
tre moitié.

85.9.1.

Fig . 7.

Conſidérant le vouſſoir ſupérieur FD, comme n’ayant aucune
liaiſon avec le reſte de la maçonnerie, la pouſſée qui ſe fera à l’é-
gard du point d’apui P, ſera la plus grande qu’il eſt poſſible; puiſ-
que dans une Voûte il n’arrive jamais que les vouſſoirs agiſſent
auſſi puiſſamment qu’ils feroient ſi leurs joints étoient extrêmement
polis, ſans trouver d’obſtacle de la part du mortier ni du frotement: par conſéquent ſi l’on cherche à proportionner la réſiſtance du pié-
droit P B à cette plus grande pouſſée, on donnera à la puiſſance
réſiſtante une force un peu au-deſſus de celle qu’il lui faudroit effec-
tivement pour ſoûtenir l’effort du vouſſoir FD, dans le cas où il
ſeroit lié avec le reſte de la Voûte; ainſi cette ſupoſition ne pou-
vant que contribuer à la fermeté des piés-droits, il s’enſuit que
conſidérer ici les choſes dans la rigueur de la Théorie, c’eſt leur
donner tout l’avantage qu’on peut déſirer dans la pratique.

Cela poſé, ſi l’on éleve une perpendiculaire LO ſur le milieu du
joint FC, cette perpendiculaire exprimera la direction de la puiſ-
ſance qui ſoûtiendroit l’effort que fait le vouſſoir FD, ſur le plan
incliné F A ; de même ſi ſur le milieu du joint GD on éleve une autre perpendiculaire HW, elle exprimera auſſi la direction de la
puiſſance qui ſoûtiendroit l’effort que feroit le vouſſoir contre le
Plan vertical G A: enfin ſi du point X, (que je ſupoſe le centre LA SCIENCE DES INGENIEURS, de gravité du vouſſoir) on abaiſſe une perpendiculaire XR à l’ho-
riſon, elle exprimera la direction, ſuivant laquelle ce vouſſoir tend
au centre de la Terre , par conſéquent nous avons ici trois puiſ- ſances, qui dans l’état d’équilibre ſeront exprimées par les trois
côtés du triangle rectangle ALK , car le côté LK, étant perpen- diculaire ſur la direction XR exprimera la péſanteur abſoluë du
vouſſoir FD; de même le côté LA étant perpendiculaire ſur la di-
rection LO de la puiſſance O, il exprimera la force de cette puiſ-
ſance pour ſoûtenir la pouſſée qui ſe fait ſur le joint FC; enfin la
direction HW de la puiſſance W, étant perpendiculaire ſur la ligne
GA, le côté KA exprimera l’effort de cette puiſſance; mais com-
me elle n’entre point ici dans le calcul, nous en ferons abſtraction
à l’avenir, pour ne conſidérer que la ſeule puiſſance O, dont le bras
de lévier ſera exprimé par la perpendiculaire PO, tirée du point d’a-
pui P ſur la direction LO: prévenu de tout ceci, je ne crois pas
qu’on rencontre aucune difficulté à bien entendre les propoſitions
qui vont faire l’objet de ce Chapitre.

85.9.1.

Art. 1.
Art. 9.
Art. 2.
& 3.

85.10. PROPOSITION PREMIERE.
Proble’me .
Trouver l’épaiſſeur qu’il faut donner aux piés-droits des
Voûtes en plain ceintre, pour être en équilibre par leur réſiſ-
tance avec la pouſſée qu’ils ont à ſoûtenir.

11. Ayant mené par le point L milieu de FC, la ligne MK pa-
ralelle à ZA, & prolongé PZ juſqu’en M, & abaiſſé la perpendi-
culaire LV ſur AB, nous nommerons LK, ou KA, a, LA, b; BV,
c; ZP, d; ZB ou P S, y; ainſi ML ou MN, ſera y + c, & MP ſera
a + d, par conſéquent NP ſera a + d - c - y; & ſi l’on ſupoſe
a + d - c = f, l’on aura f - y, pour la valeur de NP: la ſuperficie
de chaque vouſſoir CG & CE, ſera nommée nn; enfin ſi du centre
de gravité Q, du vouſſoir CE, l’on abaiſſe la perpendiculaire QR,
ſur la baſe PS, RS ſera nommé g; par conſequent P R ſera y - g.

85.10.1.

Fig . 7.

Cela poſé, la premiere choſe qu’il faut chercher eſt l’expreſſion
du bras de lévier PO; pour cela conſiderés que les triangles LKA
& NOP, ſont ſemblables, puiſqu’ils ſont rectangles & izocelles, & que par conſéquent LA (b). LK (a): : NP (f - y.) PO {(af - ay)/b}. D’un autre côté remarquez que la péſanteur abſolue du vouſſoir ED LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. eſt à l’effort que ſoûtient le joint FC, ou la puiſſance O, comme
LK eſt à -3. 0, ou bien, ab : : nn. {bnn/a}: ainſi multipliant {bnn/a} (qui eſt l’expreſſion de la puiſſance O) par ſon bras de lévier PO, l’on aura
nnf-nny pour la pouſſée de la Voûte par raport au point d’apui P; & comme nous voulons mettre cette pouſſée en équilibre avec la
réſiſtance du pié-droit joint au vouſſoir EC, il faut multiplier la ſu-
perficie du rectangle PB qui eſt d y, par le bras de lévier PT({y/2})
moitié de PS pour avoir {dyy/2}; & comme nous avons encore le
vouſſoir EC, dont la ligne de direction QR, tirée du centre de gra-
vité perpendiculaire ſur PS marque que PR (y-g) eſt le bras de
lévier qui répond à l’action de ce vouſſoir, il faut donc multiplier
nn par y-g pour avoir nny-nng, qui étant ajoûté avec {dyy/2}, donnera
une expreſſion égale à la puiſſance réſiſtante; par conſéquent l’on
a cette équation nnf-nny={dyy/2}+nny-nng, d’où faiſant paſſer
du premier membre dans le ſecond, le terme où ſe trouvera l’in-
connu, & du ſecond dans le premier, le terme où l’inconnu ne
ſe trouve point, l’on aura après avoir multiplié par 2 & diviſé par d,
{2nnf+2nng/d}=yy+{4nny/d}, qui eſt une équation dont il ſera aiſé d’a-
voir la valeur de l’inconnu, en ajoûtant à chaque membre le quarré
de la moitié du coëficient du ſecond terme, afin de rendre le ſecond
membre un quarré parfait; & alors il viendra {2nnf+2nng/d}+{4n4/dd}
=yy+{4nny/d}+{4n4/dd}, dont extrayant la racine quarrée & déga-
geant l’inconnu, il vient √2nnf+2nng/d+4n4/dd\x{0020}-{2nn/d}=y.

85.10.1.

*
Art. 4

85.11. APLICATION.

Quand on eſt une fois parvenu à trouver une expreſſion qui don-
ne la valeur de l’inconnu, il n’y a plus qu’à faire par les nombres
ce que la derniere équation nous a indiqué; cependant comme les
calculs, tout aiſés qu’ils ſont, pourroient embarraſſer ceux quin’en
ont point l’habitude, je vais, comme dans le Livre précédent, en
détailler les opérations.

Nous ſupoſerons que le rayon AB eſt de 12 pieds; que le rayon LA SCIENCE DES INGENIEURS, AE eſt de 15; par conſéquent la Voûte en aura 3 d’épaiſſeur: ainſi AL (b) ſera de 13 pieds 6 pouces, LK ou KA (a) de 9 pieds
10 pouces, & BV (c) ſera de 2 pieds 2 pouces; nous ſupo-
ſerons auſſi que ZP (d) ou la hauteur des piés-droits eſt de 15
pieds, & que RS (g) eſt d’un pied; & ſelon toutes ces ſupoſitions
a+d-c=f ſera de 22 pieds 2 pouces: de ſorte que f+g ſera
23 pieds 2 pouces; or comme il ne nous reſte plus que de con-
noître nn, il n’y a qu’à chercher la ſuperficie des deux cercles qui
auroient pour rayons AC & AF; c’eſt-à-dire, 12 & 15 pieds, ôter la
plus petite de la plus grande, & prendre la huitiéme partie de la
différence qu’on trouvera d’environ 32 pieds, qui ſera la valeur de
nn; c’eſt-à-dire, de chaque vouſſoir CG ou CE. Preſentement que
l’on connoît la valeur de toutes les lettres, il ne s’agit plus que de
faire les mêmes opérations que celles qui ſont indiquées dans l’é-
quation √2nnf+2nng/d+4nn4/dd\x{0020}-{2nn/d}=y, dans laquelle je re-
marque que f+g eſt multiplié par 2nn. Or comme f+g vaut 23
pieds 2 pouces, & nn, 23 pieds dont le double eſt 64, je multi-
plie donc 64 par 23 pieds 2 pouces, & je diviſe le produit par la
valeur de d, qui eſt 15, & le quotient donne 98 pieds 10 pouces: enſuite je remarque que le troiſiéme terme de mon équation eſt le
quarré de {2nn/d}; c’eſt-à-dire, de 64 diviſé par 15, qui donne 18,
qui étant ajoûté avec 98 pieds 10 pouces, l’on aura 116 pieds 10
pouces, dont il faut extraire la racine quarrée que l’on trouvera
de 10 pieds 9 pouces 7 lignes; mais comme l’on voit dans l’équa-
tion qu’il faut ôter de cette racine {2nn/d}, il faudra donc ſouſtraire ſa
valeur, c’eſt-à-dire, 4 pieds 3 pouces de 10 pieds 9 pouces 7 li-
gnes, & la différence qui eſt 6 pieds 6 pouces 7 lignes, ſera la va-
leur de y; c’eſt-à-dire, l’épaiſſeur PS qu’il faudra donner aux piés-
droits de la Voûte dont il s’agit pour être en équilibre avec la
pouſſée.

On prendra garde que l’épaiſſeur que l’on vient de trouver n’eſt
pas celle que je prétend qu’il faut donner au pié-droit d’une Voûte
qui auroit les mêmes dimenſions que celle qu’on a ſupoſée ici, puiſ-
qu’après avoir trouvé le point d’équilibre, il faut, comme on l’a dit
pluſieurs fois dans le Livre précédent, mettre toûjours la puiſſance
réſiſtante au-deſſus de la pouſſée, afin d’agir en toute ſeureté, ce
qui ſe fera en donnant au pié-droit 5 ou 6 pouces d’épaiſſeur de
plus que n’en demande le calcul, ou bien en ajoûtant des contreforts
comme nous en ferons mention ailleurs.

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