Pour le prouver, je conſidere que la ligne H A eſt le côté
du quarré, qui vaut la ſomme des quarrés B G & G A; & que
la ligne I H eſt le côté d’un quarré qui vaut la moitié du
quarré H A: par conſéquent le quarré I H ou G E eſt moyenne
arithmétique entre les quarrés G A & G B. Et comme les
triangles ſemblables ſont dans la même raiſon que les quarrés
de leurs côtés homologues, il s’enſuit que les quarrés des côtés
G B, G E, G A étant en progreſſion arithmétique, les trian-
gles G B C, G E F, G A D ſont en proportion arithmétique,
par conſéquent ſe ſurpaſſent également; & comme les gran-
deurs dont ils ſont ſurpaſſés, ne ſont autre choſe que le tra-
pézoïde E C, & A F, je conclus que ces trapézoïdes ſont
égaux, & que par conſéquent le problême eſt réſolu.

859. PROPOSITION VIII.
Probleme .

879. Diviſer un trapeze en deux également par une ligne pa-
rallele à l’un de ſes côtés.

Pour diviſer le trapeze A B C D par une ligne parallele au
côté A B, il faut prolonger les côtés B C & A D, tant qu’ils
ſe rencontrent au point G; puis réduire le trapeze en triangle
pour avoir le point F: après quoi on diviſera la baſe A F du
triangle A B F en deux également au point H; on cherchera
une moyenne proportionnelle entre A G & H G, qui ſera,
par exemple, I G; & ſi du point I l’on mene la ligne I K pa-
rallele à A B, elle diviſera le trapeze en deux parties égales
A B K I & I K C D.

Pour le prouver, remarquez que les triangles A B G & I K G ſont ſemblables, & qu’étant dans la même raiſon que
les quarrés de leurs côtés homologues, ils ſeront comme les
lignes A G & H G (art. 497). Or comme les triangles A B G
& H B G ont la même hauteur, ils ſeront dans la même rai-
ſon que leurs baſes, & auront par conſéquent même raiſon
que les lignes A G & H G; d’où il s’enſuit que le triangle I K G
eſt égal au triangle H B G. Cela poſé, ſi l’on retranche de part
& d’autre la figure H O K G qui eſt commune à ces deux trian-
gles, il reſtera le triangle O I H égal au triangle O B K: mais
comme le triangle B A H eſt égal à la moitié du trapeze, il
s’enſuit que la figure A I K B eſt auſſi égale à la moitié du tra-