Full text: Belidor, Bernard Forest de: Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie

766. Demonstration .

Si du point angulaire B l’on décrit un cercle, dont le rayon
ſoit le côté B C, & que l’on prolonge le côté A B juſqu’à la
circonférence en D & E, la ligne A D ſera la ſomme des deux
côtés connus, puiſque B D eſt égal à B C, & la ligne A E ſera
la différence de ces deux côtés, puiſque B A eſt plus petit que
B D de toute la ligne A E. Cela poſé, comme l’angle D B C
eſt extérieur au triangle A B C, il ſera égal aux deux inté-
rieurs B A C & B C A: ainſi il vaudra la ſomme des deux an-
gles inconnus; & ſi l’on tire la ligne E C, l’angle D E C, qui
eſt à la circonférence, ſera moitié de celui du centre D B C: ainſi il vaudra la moitié de la ſomme des deux angles incon-
nus; & ſi l’on tire la ligne D C, qui ſe trouve perpendiculaire
ſur E C, à cauſe que l’angle E C D eſt renfermé dans un demi-
cercle, cette ligne ſera la tangente de l’angle D E C, c’eſt-à-
dire de la moitié de la ſomme des deux angles inconnus. Pré-
ſentement conſidérez que le triangle E B C eſt iſoſcele, & que les angles B E C & B C E de la baſe ſont égaux; par con-
ſéquent l’angle B E C ſera plus grand que l’angle B C A de
tout l’angle F C E; & comme l’angle extérieur B A C du trian-
gle B A C eſt plus grand que l’angle B E C de tout l’angle A C E,
il s’enſuit donc que l’angle B A C eſt plus grand que B C A de
deux fois l’angle A C E; ce qui fait voir que l’angle A C E eſt
la moitié de la différence des deux angles inconnus B A C & B C A. Or ſi la ligne E F eſt perpendiculaire ſur E C, elle ſera
la tangente de la moitié de la différence des deux angles in-
connus, étant tangente de l’angle F C E; mais les lignes D C
& F E ſont paralleles, puiſqu’elles ſont perpendiculaires ſur
E C; par conſéquent l’angle F E A ſera égal à ſon alterne
E D C. Et comme les angles F A E & D A C ſont auſſi égaux,
il s’enſuit que les triangles A F E & A D C ſont ſemblables,
d’où l’on tire A D: A E : : D C: F E, qui fait voir que la ſomme
des deux côtés A D eſt à leur différence A E, comme la ligne
D C, tangente de la moitié de la ſomme des deux angles in-
connus, eſt à la ligne F E tangente de la moitié de leur diffé-
rence. C. Q. F. D.

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