384.
PROPOSITION XVI.
Theoreme
.
412. Dans tout triangle A B C, le quarré d’un côté A B oppoſé
à un angle aigu, eſt égal à la ſomme des quarrés des deux autres
côtés, moins deux rectangles égaux, compris ſous le côté A C, op-
poſé au plus grand angle, ſur lequel on a abaiſſé une perpendicu-
laire B D; & la partie C D du même côté A C, compriſe entre l’an-
gle C, auquel ce côté A B eſt oppoſé, & la perpendiculaire B D; c’eſt-à-dire que l’on aura A B
2
= A C
2
+ B C
2
- 2A C x D C.
385.
Demonstration
.
Soit fait A B = a, B C = b, A C = c, B D = d, D C = x,
A D ſera c - x. Cela poſé, le triangle rectangle B A D donne
A B
2
= B D
2
+ A D
2
, ou analytiquement aa = dd + cc - 2cx
+ xx; & par la même raiſon, le triangle rectangle B D C
donne B C
2
= B D
2
+ D C
2
, ou en termes analytiques,
bb = dd + xx. Si l’on retranche les termes de cette derniere
égalité des termes de la précédente, on aura aa - bb = dd
+ cc - 2cx + xx - dd - xx = cc - 2cx; en effaçant ce
qui ſe détruit, & faiſant paſſer dans l’autre membre le terme
- bb, on aura aa = bb + cc - 2cx, ou A B
2
= A C
2
+ B C
2
-
2
A C x D C. C. Q. F. D.
On démontreroit de la même maniere que l’on auroit
B C
2
= A B
2
+ A C
2
-
2
A C x A D.
386.
Corollaire
.
413. Puiſque l’on a aa = bb + cc - 2cx, on aura, en
faiſant paſſer - 2cx dans le premier membre, & aa dans le
ſecond, 2cx = bb + cc - aa, d’où l’on tire x = {bb + cc - aa/2c}. Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du ſegment D C, il
faut de la ſomme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré
du côté A B oppoſé à l’angle C, & diviſer le reſte par 2c, ou
deux fois le côté ſur lequel on a abaiſſé la perpendiculaire B D. D’où il ſuit que par la connoiſſance des trois côtés d’un trian-
gle quelconque, on peut toujours trouver la ſurface; car la