PHYSICES ELEMENTA percurritur linea hæc, hac ipſâ lineâ repræſentatur; tempus quo EB peragratur,
repræſentatur lineâ EF, quæ ſe habet ad EB, ut v ad c. Punctum ve-
ro F determinatur ſi ex B ad CD ducatur BD perpendicularis, fiatque c, v: :
BD, LD & per L ad DC ducatur parallela, ſecabit hæc BE in puncto F: nam propter parallelas ED, FL, habemus BD, LD : : BE, FE.

Ex hac demoſiſtratione etiam ſequitur, ſi punctum per lineas alias AM,
MB, progrediatur, quarum ultima ſecat LF in N, tempus motus repræ-
ſentari lineis AM, MN, ita ut determinandum ſit per quod punctum lineæ
CD punctum mobile tranſeat, quando ſumma talium linearum tempora repræ-
ſentantium eſt omnium minima; quod ut fiat ad ſequentia attendendum.

Summas ab utraque parte recedendo à puncto quæſito augeri continuo; ideoque in eo puncto ſolo ſummas vicinas eſſe æquales, idcirco ſi punctum
hoc ſit E erunt æquales AE + EF & Ae + ef ex qua æqualitate ſitus pun-
cti E deducendus eſt.

Centro A, radio A e deſcribatur circuli arcus eb; Centro Bradiis Bf, & BE deſcribantur arcus E i, fg, eruntque æquales Ab + Eg & A e + i f ſubtra-
ctis hiſce quantitatibus æqualibus ex AE + EF = Ae + ef, reſtanth E + gF = ei. Unde deducimus. hE = ei-gF. Propter triangula ſimilia eiE, fgF, & Bfg,
Bie ut & BFL, BED,

ei, g F : : Ei, fg, : : BE, Bf aut BF (difterentia enim eſt infi nite exigua)
: : BD, BL. Dividendo

ei, ei g F = bE: : BD, BD-BL = LD; id eſt ut velocitas infra lineam ad
velocitatem ſupra lineam.

Triangula eiE, ENO, ſunt ſimilia ut & eb E & e MP; ergo

ei, Ee: : EO, EN

bE, Ee: : EP, Me = EN nam ſunt radii ejuſdem circuli; E e c-
nim eſt infinite exigua.

Ex æquo ei, bE: : EO, EP. Sunt autem hæ lineæ coſinus angulorum
quos directiones motuum efficiunt cum linea CD quæ ſpatia ſeparat in quibus velo-
eitates differunt: qui ergo coſinus directionum ſunt inter ut velocitates in ipſis
iltis directionibus, quando tempus eſt omnium breviſſimum.

Moveatur iterum corpus ex A & tendat ad B, ea conditioneut dum tranſ-
it lineas CD, IL, MN, OP, ſingulis vicibus velocitatem mutet, quæ-
ritur qua lege movetur, poſitis hiſce lineis parallelis, ut tempore breviſſimo
ex A ad B perveniat.

Requiritur ut corpus ex A ad F perveniat tempore breviſſimo poſſibili,
ut & ex E ad G, ex F ad H, & ex G ad B, aliter enim in toto motu tem-
pus brevius dari poteſt. Ideò coſinus angulorum quos motus directiones AE,
EF, FG, GH, HB, efficiunt cum lineis, parallelis inter ſe, ſeparantibus ſpa-
tia in quibus diverſa eſt velocitas, ſunt reſpectivè inter ſe ut velocitates quibus ſin-
gu'a percurruntur.

Conſideremus nunc corpus quod gravitate deſcendit. Celeritas continuo
deſcendendo augetur, & ad eandem profunditatem ubique eſt eadem , innu- meris ergo, & inter ſe infinitè parum diſtantibus, planis horizontalibus divi-
duntur ſpatia in quibus celeritas variat: Linea ergo celerrimi deſcenſus inter
duo puncta eſt cujus tangens ubique cum borizonte eſſicit angulum, cujus coſinus
velocitati cadendo acquiſitæ proportionalis eſt , id eſt radici quadratæ altitu- dinis per quam corpus cecidit . Hanc autem eſſe Cycloïdis proprietatem de- monſtramus.