—  (140  )  —
Dem.  Producatur  BC  in  G.  Recta  AB  perpendicularis ¬
  est  ad  diametrum  AD  in  illius  extremitate ¬
  A,  proinde  circulum  tangit.  Igitur
se  habet  BG:  AB  =  AB:  BE,  et  subtrahendo
BG  —  AB:  AB  —  AB  —  BE:  BE.
Sed  BG  —  AB  —  BG  —  GE  —  BE  =  FB
et  AB  —  BE  —  AB  —  FB  —  AF.  Jam  si  in
ultimą  proportione  hi  valores  substituantur,  prodibit ¬
  FB:  AB  —  AF:  FB,  et  si  rationes  permutentur, ¬
  AF:  FB  —  FB:  AB.
Ergo  recta  AB  in  puncto  F  secta  est  in  ratione ¬
  media  et  extrema.
309.  §.  Coroll.  In  proportione  AF:  FB  FB: =
  AB  consequens  AB  major  est  suo  antecedente, ¬
  ergo  etiam  FB  major  erit  suo  antecedente ¬
  AF;  seu  majus  segmentum  FB  est  media  proportionalis ¬
  inter  segmentum  minus  AF  et  integram ¬
  lineam  AB.
310.  §.  Theorema.
Si  in  triangulo  aequicruro  ABC,  (Fig.  169.)
basis  BC  aequalis  fuerit  majori  segmento  láteris
AC  secti  in  ratione  media  et  extrema  ;  quivis
angulus  ad  basim  erit  duplum  illius  ad  verticem. ¬

Dem.  Sit  latus  AC  in  puncto  D  sectum  in
ratione  media  et  extrema,  sitque  BC  =  AD,
segmento  majori.  Ducatur  BD.
Per  suppositionem  se  habet  CD:  AD  —
AD:  AC,  ergo  etiam  CD:  BC=BC:  AC.  Igitui