351. THEOR. 5. PROPOS. 10.

PROPOSITIS duabus minutiis inæqualibus; minutia, cuius nume-
rator ex illarum numeratoribus, denominator autem ex denomina-
toribus conflatur, maior quidem eſt minore, minor vero maiore.

Sint duæ minutiæ inæquales, maior {3/5}. & minor {4/7}. Iungantur tam nume-
tatores, quam denominatores, vt fiat minutia {7/12}. Dico hanc maiorem eſſe,
quam {4/7}. & minorem quam {3/5}. Quoniam enim maior eſt minutia {3/5}. quam {4/7}. erit per propoſ. 8. Minutiarum lib. 9. Eucl. maior proportio 3. ad 5. quam 4. ad
7. Et permutando, maior 3. ad 4. quam 5. ad 7. Igitur & componendo, maior 3. 4. ſimul, hoc eſt, 7. ad 4. quam 5. 7. ſimul, id eſt, quam 12. ad 7. Et permutando, maior 7. ad 12. quam 4. ad 7. Ac proinde per propoſ. 8. Minutiarum libri 9. Euclid. maior erit
minutia {7/12}. quam {4/7}. quod eſt primum.

Deinde quia minor eſt {4/7}. quam {3/5}. erit per propoſ. 8. Minutiarum libri
9. Euclid. minor proportio 4. ad 7. quam 3. ad 5. & permutando, minor 4. ad 3. quam 7. ad 5. Igitur & componendo minor 4. 3. ſimul, id eſt, 7. ad 3. quam 7. 5. ſimul, hoc eſt. quam 12. ad 5. Et permutando, minor 7. ad 12. quam 3. ad 5. Ac proinde per propoſ. 8. Minutiarum lib. 9. Eucl. minor erit minutia {7/12}. quã
{3/5}. quod eſt ſecundum.

352. THEOR. 6. PROPOS. 11.

SI duonumeri inter ſe primi non ſint ambo quadrati aut cubi; neque
eorum æquè multiplices vlli, quadrati erunt, aut cubi. Et ſi eorum æ-
què multiplices aliqui ſint ambo quadrati, aut cubi, etiam ipſi erunt
quadrati aut cubi.

Sint enim A, B, numeri inter ſe primi, & non ambo quadrati, vel cubi, quã-
uis vnus eorum qua dratus ſit, vel cubus. ſintque eorum æ-
què multiplices C, D. Dico neq; hos eſſe ambos quadra-
tos, aut cubos. Sint enim, ſi fieri poteſt, ambo quadrati,
vel cubi. Et quoniam idem numerus multiplicans A, & B,
fecit C, & D, quod hi illorum ſint æque multiplices: erit A, ad B, vt C, ad D. Cadit autem inter C, & D, vnus me- dius proportionalis, aut duo. Igitur & inter A, B, vnus ca- det medius proportionalis, aut duo. Cum ergo extremi A,
B, ponantur inter ſe primi; erunt omnes tres, vel quatuor proportionales, minimi in ſua proportione: Ac proinde A, B, ambo qua drati erunt, vel cubi. quod eſt contra hy-
potheſim. Non ergo C, D, ambo qua drati ſunt, aut cubi. quod erat oſtenden-
dum.

Sed ſintiam C, D, ipſorum A, B, inter ſe primorum æquè multiplices, & am-
bo quadrati, vel cubi. Dico etiam A, B, ambos eſſe quadratos, vel cubos. Si. n.