LIBER SEPTIMVS. lio propoſ. 34. lib. 1. Euclid. oſtendimus) ſinguli oppoſiti inter ſeſint æqua- les: Idcirco totam hanc propoſitionem in triangulis, & quadrilateris figuris ita
demonſtrabimus. Sit primum triangulum ABC, inter ſibi Iſoperimetra triangu-
la maximum. Dico illud æquilaterum eſſe & æquiangulum. Si enim non eſt
æquilaterum, ſed latera AB, BC, ſuntinæqualia, ſi ſuper baſem AC, conſtitua- tur triangulum Iſoſceles ADC, ita vt latera AD, DC, ſimul æqualia ſint lateri-
bus AB, BC, ſimul; erunt triangula ABC, ADC, Iſoperimetra; atque adeo ADC, maius, quam ABC, quod eſt contra hypotheſim. Non ergo inæqualia
ſunt latera AB, BC, ſed æqualia. Eademque ratio eſt de cæteris. Æquilaterum
ergo eſt triangulum ABC. Igitur, ex coroll. propoſ. 5. lib. 1. Euclid. & æquian-
gulum eſt. quod eſt propoſitum.

304.1.

34. primi.

335-01

7. hui{us}.

8. hui{us}.

Deinde ſit quadrilaterum ABCD, inter omnia ſibi Iſoperimetra maxi-
mum. Dico illud eſſe, & æquilaterum, & æquiangulum. Si enim non eſt æqui-
laterum, ſint latera AB, BC, ſi fieri poteſt, inæqualia, ducaturq; recta AC. Si igitur ſuper AC, conſtituatur triangulum Iſoſceles, AEC, Iſoperimetrum trian-
gulo ABC; erit triangulum AEC, maius triangulo ABC. Addito ergo com-
muni triangulo ACD, erit quadrilaterum AECD, maius quadrilatero ABCD. quod eſt contra hypotheſim, cum ABCD, maximum ponatur. Non ergo inæ-
qualia ſunt latera AB, BC, ſed æqualia. Eademque ratio eſt de cæteris. Æqui-
latera ergo eſt figura ABCD.

Sit iam quadrilatera figura ABCD, omnium iſoperimetrarum maxima, æ-
quilatera, vt oſtenſum eſt, at non æquiangula, ſed anguli BAD, CDA, inæqua-
les ſint. Quoniam igitur figura ABCD, cum ſit æquilatera, parallelogrammum
eſt, vt in ſcholio propoſ. 34. lib. 1. demonſtrauimus; neuter que angulorum A,
D, rectus eſt; (alias, cum ambo duobus rectis ſint æquales, eſſent ambo recti) ſed vnus acutus, & obtuſus alter: ſi educantur ex A, & D, duæ lineæ perpen-
diculares AH, DG, occurrentes lateri BC, in H, & G; erit quo que AHGD, pa-
rallelogrammum. Quia verò latera AB, DC, maiora ſunt lateribus AH, DG; producantur hæc, vt fiant rectæ AE, DF, lateribus AB, DC, æquales, iungatur-
que recta EF. Quo facto, erit figura AEFD, iſoperimetra parallelogrammo
ABCD; cum latera AE, DF, lateribus AB, DC, æqualia ſint, latus verò AD,
commune, & latus EF, lateri B C, æquale, quod vtrumque æquale ſit lateri oppoſito AD. Cum ergo figura AEFD, maior ſit parallelogrammo AHGD; hoc autem æquale ſit parallelogrammo ABCD; erit quoque figura AEFD, maior parallelogrammo ABCD. Quare cum eidem ſit iſoperimetra, non erit
ABCD, figura quadrilatera inter ſibi Iſoperimetras maxima. quod eſt contra
hypotheſim. Non ergo inæquales ſunt anguli BAD, CDA, ſed æquales: at-
que adeò cum ABCD, ſit parallelogrammum, erunt anguli oppoſiti B, C, angulis D, A, æquales, proptereaque tota figura æquiangula erit, quod eſt
propoſitum.