222. ALITER.

Sit parallelepipedum A B C, comprehenſum ſub A C, duabus tertiis parti-
bus diametri ſphærę, & ſub baſi AB, quę circulo maximo eiuſdem ſphærę ſit æ-
qualis. Dico parallelepipedum A B C, ſphærę æquale eſſe. Sit enim aliud pa-
rallelepip edum D E F, contentum ſub DF, ſemidiametro ſphærę, & ſub baſe
DE, quę tertię parti ſuperficiei ſphærę ſit æqualis. quod vt in prima parte huius
2. regulę demonſtrauimus, æquale erit ſphærę propoſitæ. Quia ergo baſis A B,
circulo maximo ſpærę æqualis, eſt {1/4}. ſuperficiei ſphærę; erit ex coroll. propoſ@
1. huius cap. vt AB, hoceſt, vt {1/4}. ſuperficiei ſphærę ad DE, id eſt, ad {1/3}. eiuſdem
ſuperficiei, ita DF, hoc eſt, ita {1/2}. diametri ſphærę, ad A C, id
eſt, ad {2/3}. eiuſdem diametri. Ac proinde cum baſes A B, D E,
cumaltitudinibus D F, A C, reciprocentur, parallelepipeda ABC, DEF, æqualia inter ſe erunt. Cum ergo DEF, ſphærę
æquale ſit, vt dictum eſt, erit quoque ABC, eidem ſphærę æ-
quale. quod eſt propoſitum.

222.1.

255-01

34. vndec.

223. ALITER.

Qvoniam ex coroll. propoſ. 1. huius cap. eſt, vt {1/4}. ſu-
perficiei ſphærę ad {1/@}. eiuſdem ſuperficiei, ita {1/2}. diametriad {2/3}. eiuſdem diametri: idem numerus efficietur ex primo nu- mero, nimirum ex {1/4}. ſuperficiei, id eſt, ex circulo maximo ſphærę, in quartum,
nimirum in {2/3}. diametri, quiex ſecundo, id eſt, ex {1/3}. ſuperficiei, in tertium, hoc
eſt, in {1/2}. diametri. Sed ex {1/3}. ſuperficiei in {1/2}. diametri ſoliditas ſphærę procrea-
tur, vt in primaparte huius 2. regulæoſtenſum eſt. Igitur eadem ſoliditas ex cir-
culo maximo in {2/3}. diametri gignetur. quod eſt propoſitum.

Rvrsvs quia cylindrus, cuius baſis circulus maximus ſphærę, & altitudo
diameter eiuſdem, ſeſquialter eſtipſius ſphærę, ex coroll. propoſ. 32. lib. 1. Ar-
chimedis de ſphæra, & cylindro: Idemque cylindrus ſeſquialter etiam cylin- dri, cuius baſis æqualis ſit duabus tertiis partibus circulimaximi, & altitudo ea-
dem diameter; erunt poſterior hic cylindrus, & ſphæra æquales: hoc eſt, ſphæra producetur ex {2/3}. areæ maximi circuli in diametrum ſphærę. quod eſt
tertium.

Concipiantvr quoque duo parallelepipeda, quorum vnius baſis ſit {2/3}. areæ maximi circuli in ſphæra æqualis, & altitudo toti diametro: alterius verò
baſis æqualis ſit {4/3}. areę circuli maximi, & altitudo ſemidiametro. Et quia horum
parallelepipedorum baſes cum altitudinibus reciprocantur: quod tam prioris
baſis ſubdupla ſit baſis poſterioris, quam altitudo poſterioris altitudinis prio-
ris: erunt ipſa parallelepipeda æqualia. Sed prius, per tertiam partem huius 2. regulę, ęquale eſt ſoliditati ſphęrę. Igitur & poſterius. Ideoque ſphęra
producetur ex ſemidiametro in {4/@}. areę circuli maximi. quod quarto loco pro-
ponitur.

Præterea concipiantur duo parallelepipeda, quorum vnius baſis ęqua-
lis ſit areę circuli in ſphęra maximi, & altitudo ęqualis {2/3}. diametri: alterius ve-
rò baſis ęqualis ſit @ areę circuli maximi, & altitudo {4/3}. diametri. Et quia horum
parallelepipedorum baſes reciprocantur cum altitudinibus; quod tam baſis
in priori dupla ſit baſis in poſteriori, quam altitudo in poſteriori altitudinis in