Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

1.73. THEOREMA LXXIII.

HOC etiam problema à me inuentum eſt, nempe ſi duæ radices quadratæ in
ſummam collectæ fuerint, & ex dimidio eiuſmodi ſummæ detracta fuerit mi
nor radix, reſiduique reſiduiq́; quadratum duplicatum eique eiq́; ſummæ coniungatur du-
plum producti ipſius reſidui in dimidium ſummæ radicum, atque huic ſummæ du-
plum producti eiuſdem reſidui in radicem minorem coniunctum fuerit; vltima hæc
ſumma differentia erit duorum quadratorum propoſitorum.

Exempli gratia duæ radices quadraræ ſint .5. et .11. harum ſumma erit .16. & dimi
dium .8. differentia minoris ab ipſo dimidio erit .3: duplum quadrati huius differen
tiæ erit .18: duplum producti huius differentię in dimidium ſummę radicum erit .48.
item & huius differentiæ duplum in minorem radicem erit .30. quarum omnium
ſumma erit .96. tantaq́ue erit differentia ſuorum quadratorum, quorum vnum
erit .25. alterum verò .121.

Pro cuius rei ſcientia, duæ quadratæ radices ſint .h.o. et .o.d. directæ inter ſe con-
iunctæ, quæ ſumma per medium in puncto .e. diuidatur, tum cogitetur .e.b. æqualis
o.e. perpendicularis .h.d. ducanturque ducanturq́; lineæ .b.h : b.o. et .b.d . Iam ex .4. primi .b.h. æqua
lis erit .b.d. & quadratum .b.h. æquale quadrato .h.o. & quadrato .o.b. ſimul cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex .12. ſecundi Eucli. Sed ex .13. eiuſdem eiuſdẽ quadratum .b.d.
minus eſt quadrato .o.d. cum quadrato .o.b. ex duplo producti .o.e. in .o.d. at duplum
eiuſmodi producti æquale eſt duplo qua-
drati .o.e. & duplo producti .o.e. in .e.d. ex
tertia eiuſdem, itaque duo quadrata ſcili-
cet .o.b. et .o.d. maiora erunt duobus qua-
dratis, nempe .o.b. et .o.h. collectis cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex duplo quadrati
o.e. vna cum cũ duplo producti .o.e. in .e.d . Qua
re differentia differẽtia ſummæ duorum quadratorum
o.b. et .o.d. à ſumma duorum o.b. et .o.h. du
plum erit quadrati .o.e. cum duplo produ-
cti .o.e. in .e.d. & duplo producti .o.e. in .o.h.
Quòd ſi ex ſingulis duabus ſummis quadratorum demptum fuerit quadratum .o.b.
eadem producta & quadrata ipſius .o.e. remanebunt, tanquam differentia duorum
quadratorum .o.u. et .h.c .

1.73.1.

0060-01

1.74. THEOREMA LXXIIII.

CVR ſumma duorum extremorum extremorũ quatuor terminorum proportionalium proportionaliũ arith-
meticè, æqualis eſt ſummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re neceſſa-
rium non eſſe proportionalitatem continuam exiſtere.

Exempli gratia, ſi darentur hi quatuor termini .20. 17. 9. 6. quorum proportio ea
dem eſſet primi ad ſecundum quæ tertij ad quartum, ſumma primi cum quarto eſſet
26. tantaque tantaq́; ſecundi cum tertio.

Cuius ſpeculationis cauſa, primus maiorque maiorq́; numerus ſignificetur linea .e.o. ſecun-
dus .s.q. tertius .u.c. quartus .g.t. differentia porrò inter .e.o. et .s.q. ſit .i.o. quæ æqualis
erit differentiæ .r.c. qua quartus à tertio ſuperatur ex hypotheſi. Itaque aſſero ſum
mam .e.o. cum .g.t. nempe .a.o. æqualem eſſe ſummę .q.s. et .u.c. ſitque ſitq́; .q.p . Nam in .a.o. THEOREM. ARIT. Secundus tertiusq́ue terminus reperiuntur, eſt
enim ſecundus .e.i. tertius .i.o. et .e.a. quando-
quidem ex præſuppoſito .e.i. æqualis eſt .s.q. et
i.o. æqualis .r.c. et .a.e. cum ſit æqualis .g.t. cui
pariter æqualis eſt .r.u. ex quo .a.e. æqualis
eſt .u.r . Itaque illud ſequitur .a.o. ipſi .q.p.
æqualem eſſe.

1.74.1.

0061-01

1.75. THEOREMA LXXV.

CVR ſumma duorum terminorum extremorum imparium arithmeticæ pro-
portionalitatis ſemper duplo medij termini æqualis eſt.

Exempli gratia, ſunt hitres termini proportionalitatis arithmeticæ .20. 15. 10
ſumma duorum extremorum erit .30. quæ duplum eſt medij termini .15.

Quod vt ſpeculemur, tres termini, tribus lineis .b.d : n.u. et .q.p. ſignificentur ſignificẽtur. Di-
co nunc quòd ſumma .b.d. cum .q.p. nempe .
h.d.
ſemper duplo .n.u. ſcilicet .g.u. æqualis
erit. Tum differentia .b.d. ad .n.u. ſit .c.d. quæ
æqualis erit .e.u. differentiæ inter n.u. et .q.p.
patet enim in linea .h.d : b.c. æqualem eſſe .n.
u.
ſed .n.u. ex .n.e. componitur æquali .q.p. et
ex .e.u. æquali .c.d. cum itaque itaq; in .h.d. partem .
h.b.
reperiamus æqualem .n.e. gratia .q.p. &
partem .c.d. æquale m.e.u. manifeſtum erit
h.d. æqualem eſſe .g.u .

1.75.1.

0061-02

1.76. BINA PROBLEMAT A EX DVOBVS PRAEDICTIS
THEOREMATIBVS DEPENDENTIA.

EX duobus prædictis theorematibus duo problemata oriuntur, quorum quorũ primum
eſt. Datis tribus quantitatibus cognitis, ſi quis quartam inuenire voluerit,
quæ eiuſmodi ſit reſpectu tertiæ, qualis eſt ſecunda reſpectu primæ, ſecunda cum
tertia in ſummam colligenda erit, ex qua detracta prima, ſupererit quarta.

Exempli gratia, cognitis tribus quantitatibus .20. 17. 9. ſi quartam inuenire vo
luerimus eiuſmodi proportionem cum tertia arithmeticè ſeruantem, quam ſecunda
cum prima, ſecundam cum tertia in ſummam colligemus, dabiturque dabiturq́; ſumma .26. ex
qua detracta prima quantitate, quarta relinquetur nempe .6. quod ex .74. theore-
mate dependet.

Idipſum tamen proueniret ſi quis ex tertio termino differentiam primi atque ſe-
cundi detraheret; hæc tamen via non tam vniuerſalis eſtqu àm illa. N ſi quartus ter
minus incognitus tertio maior eſſe deberet, dictam differentiam cum tertio termi-
mino in ſummam colligere oporteret.

Alterum problema eſt, quòd inuentis duobus terminis, ſi tertius requiratur, ſe-
cundus duplicandus erit, ex qua ſumma detracto primo, ſtatim tertius proferetur,
quod problema ex præcedenti theoremate dependet.

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer