Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

Sumantur enimtres numeri continui proportionales, cuiuſcunque denique pro
portionalitatis, qui in ſummam colligantur, ac poſtmodum, regula de trib. dica-
mus. Si ſumma hæc primo numero propoſito in tres partes diuidendo reſpondet,
cuireſpondebit vna ex tribus partibus huiuſcę summæ sũmæ? idem dereliquis duabus pa [?] rti
bus dico.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus .57. diuidendus in tres continuas partes
proportionales proportione ſeſquialtera, tres numeros in eiuſmodi proportio-
nalitate diſtinctos ſumemus, vt potè .4. 6. 9. qui in ſummam collecti dabunt ſum- mam ſum-mã .19. dicemusque dicemusq́; ſi .19. dant .4. quid dabunt dabũt .57? vnde proueniens vnius partis erit .
12. Tum ſi dicamus, ſi .19. dat .6. quid dabit .57? nempe dabit .18. Poſtremò, ſi .
19. dat .9. quid dabit .57? nempe .26. atque ita dabitur .18. cuius quadratum æqua-
bitur producto reliquarum duarum partium inter ſe.

Quod vt ſciamus, numerus propoſitus in tres quaſlibet partes diuidendus ſi-
gnificetur linea .a.d. tres autem numeri dictæ proportionalitatis, lineis .e.f : f.g.
et .g.h. directè inter ſe coniunctis denotentur. Cogitemus pariter lineam .d.a. in
tres partes diuiſam .a.b : b.c. et .c.d. eadem cum cæteris proportionalitate, tunc ea-
dem erit proportio .a.d. ad quamlibet ſuarum partium, quæ eſt .e.h. ad reſponden
tem ipſius in .a.d : Verbi gratia reſpondentem .a.b. ipſi .e.f. et .b.c : f.g. et .c.d : g.h . Di
co enim quòd ita ſe habebit .a.d. ad .c.d. ſicut .e.h. ad .g.h . Nam cum ſic ſe habeat .a.
b.
ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. ex præſuppoſito, permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .e.f. ſi-
cut .b.c. ad .f.g. & eadem ratione ſic ſe habe-
bit .c.d. ad .g.h. ſicut .b.c. ad .f.g. & conſequen- ter cõſequen- ter ſicut .a.b. ad .e.f. ex quo ex .13. quinti ſic
ſe habebit tota .a.d. ad totam .e.h. ſicut .c.d.
ad .g.h. aut .b.c. ad .f.g. aut .a.b. ad .e.f. per-
mutando itaque propoſitum manifeſtum erit, ipſum autem productum .a.b. in .c.b.
æquale erit quadrato .b.c. ex .15. fexti aut .20. ſeptimi.

1.55.1.

0047-01

1.56. THEOREMA LVI.

VEteres aliud quoque problema indeterminatum propoſuerunt, quod ex
more ratione à me definietur, eſt autem eiuſmodi.

Quomodo propoſitus numerus in tres eiuſmodi partes diuidatur, vt quadratum quadratũ
vnius æquale fit fummæ quadratorum reliquarum duarum partium.

Hoc vt efficiamus tria quadrata ſeparata ſumamus, quorum quorũ vnum vnũ æquale ſit reliquis
duobus; eorum eorũ autem autẽ radices in ſummam ſimul colligantur, tum regulam de tribus ſe
quemur, ratione præcedenti theoremate demonſtrata, & rectè vt infra docebimus,
quod autem dico de quadratis, etiam de cubis, & quibuſuis dignitatibus aſſero.

Exempli gratia, ſi numerus diuiſibilis proponatur .30. in tres eiuſmodi partes di
uidendus, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum
partium, in primis radices trium quadratorum ſumemus, ſic quomodocunque ſe
habentes, vt maius ipſorum æquale ſit ſummæ reliquorum duorum, verbi gratia .25.
16. et .9. nempe .5. 4. et .3. quæ ſi colligantur in ſummam efficiunt .12. Tum ex regu-
la de tribus dicemus, ſi .12. reſpondet .30: cui, 5. radix maior reſpondebit? nem-
pe .12. cum dimidio.

Deinde ſi dixerimus ſi .12. valet .30. quid valebit .4. radix media? nempe vale-
bit .10. tertia autem minor .7. cum dimidio. Itaquetota ſumma erit .30. & quadra- IO. BAPT. BENED. tum .12. cum dimidio erit .155. quod æquale erit ſummæ quadratorum duarum par
tium, nempe .100. cum .55.

Hoc vt demonſtremus demõſtremus, numerus diuiſibilis propoſitus ſignificetur linea .a.d. & ſum
ma radicum, noſtro modo ſumptarum, linea .e.h. quarum prima & maior ſit .e.f. ſe-
cunda .f.g. tertia .g.h. cogitemus etiam lineam .a.d. ea ratione diuiſam eſſe qua .e.h.
patebit cnim ex modo præcedentis theorematis vnamquanque partium .a.d. ita ſe
habituram ad ſuum totum ſicut ſe habent ſingulæ .e.h. ad ſuum. Quod ideo dico, vt
intelligamus rectè nos dicere. Si .e.h. dat .a.d. ergo .e.f. dabit .a.b. atque atq; ita de cæteris. Quare permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. idem dico de reliquis. Igitur ex .18. ſexti aut .11. octaui, eadem erit proportio quadrati .a.b. ad quadratum quadratũ .
b.c.
quæ quadrati .e.f. ad quadratum .f.g. tota enim ſunt æqualia, cum eorum partes
ſimiles inter ſe ſunt æquales. Idem dico de proportione qu@drati .a.b. nempe ita
ſe habere ad .c.d. ſicut quadratum .e.f. ad quadratum .g.h. ex quo ex .24. quinti pro-
portio quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum duarum partium .b.c. et .c.d. ſic ſe ha
bebit ut quadrati .e.f. ad ſummam quadra-
torum .f.g. et .g.h . At quadratum .e.f. æquale
eſt ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. igitur
ſic etiam ſe habebit quadratum .a.b. nempe
æquale quadratis .b.c. et .c.g . Idipſum de cæ
teris dignitatibus dices, vterisque vterisq́; .21. theoremate huius libri.

1.56.1.

0048-01

1.57. THEOREMA LVII.

SImile quoque problema ab antiquis indeterminatum proponitur, quod eiuſ-
modi eſt.

An numerus aliquis in tres eiuſmodi partes di@idi poſſit, vt quadratum vnius æ-
quale ſit ſummæ quadratorum cæterarum duarum partium ſimul cum producto
vnius in alteram.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus .50. vt iam dictum eſt diuidendus, repe
riendus erit alius quilibet numerus, qui tamen ſumma ſit trium radicum ſic ſe ha-
bentium, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum duarum partium ſi-
mul cum producto vnius in alteram, eum autem qui primò occurrit ſumamus, utpo
tè .30. qui ſumma eſt numerorum .6. 10. 14. partium ſic ſe habentium, vt quadratum
ipſius .14. æquale ſit ſummæ quadratorum cæterarum partium ſimul cum produ-
cto vnius in alteram, agamusq́ue regula de tribus, ac dicamus, ſi .30. valet .
50. quid valebit .14. nempe .23. cum tertia parte. Idem efficiemus in cæte-
ris partibus, quarum vna erit .16. cum duabus tertijs, altera verò .10. abſque @ractis,
ex quo quadratum primæ erit .544. cum .4. nonis, ſecundæ .277. cum ſeptem nonis,
tertiæ .100. & productum ſecundæ in tertiam .166. cum .6. nonis, quod productum,
cum quadratis ſecundæ & tertiæ collectum erit .544. cum .4. nonis.

Huius rei ſpeculatio eadem eſt, quę fuit præcedentis theorematis vſquequo no-
ueris eandem proportionem eſſe quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum .b.c. et .c.
d.
quæ quadrati .e.f. ad ſummam quadratorum .f.g. et .g.h . Sed cum hic non demus
quadratum .e.f. æquale ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. fed maius ex producto .g.h.
in .f.g. aut quod idem eſt, è contrario, ſubſequentes figuræ cogitandæ erunt, qua-
rum .i. ſit quadratum .a.b : l. ſit quadratum .e.f : x. quadratum .b.c : y. quadratum .f.g : p.
quadratum .c.d : q. quadratum .g.h : k. ſit productum .b.c. in .c.d : m. ſit productum .f. THEOREM. ARITH. g. in .g.h . Nunc ex ſpeculatione præcedentis theorematis, eadem erit proportio .n.
t.
ad .o.u. quæ eſt .n.s. ad .o.r. quare pro-
ductum .k. ex definitione ſimile erit
producto .m. cum vtraque ſint rectan-
gula, vnde proportio .k. ad .m. ad pro-
portionem .n.t. ad .o.u. ex .18. ſexti du-
pla erit. Igitur proportio .k. ad .m. æ-
qualis erit proportioni .x. ad .y. et .p.
ad .q. et .i. ad .l. & permutando ſic ſe ha-
bebit .k. ad .i. ſicut .m. ad .l. ſed .x.p. ad .i.
ſicſe habere probatum eſt vt .y.q. ad .l . Quare ex eadem .24. quinti ſic ſe habe
bit .x.p.k. ad .i. ſicut .y.q.m. ad .l. ſed .y.q.
m.
æqualis eſt .l . Itaque .x.p.k. pariter .i.
æqualis erit.

1.57.1.

0049-01

1.58. THEOREMA LVIII.

ALIVD quoque problema, nec tamen definitum, veteres propoſuerunt,
nempe an aliquis numerus in .4. eiuſmodi partes diuidi poſſit, vt ſumma qua-
dratorum duarum partium dupla ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum.

Verum huius effectio & ſpeculatio non erit difficilis, cum cũ ſit eadem quæ præmiſsis
proximè duobus theorematibus allata fuit, ſumpta nempe ſumma radicum quarun
cunque ſic ſe habentium, prout dictum fuit. Verbigratia .44. cuius partes erunt.
16. 12. 14. 2. tunc tũc progrediemur regula de tribus dicentes. Si .44 numerum propoſi-
tum valet, quid .16. pars maior? nempe valebit partem maiorem numeri propoſi-
ti reſpondentem .16. idem de cæteris dico.

Porrò ſpeculatio eadem eſt cum ſuperioribus.

1.59. THEOREMA LIX.

CVR diuidens propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt productum
radicum quadratarum ipſarum partium æquale ſit alteri numero propoſito,
cuius tamen tamẽ quadratum maius non nõ ſit quadrato dimidij primi numeri propoſiti. Rectè
ſecundum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicat, & eundem eundẽ ex quadrato di-
midij primi detrahit, reſiduique reſiduiq́; quadratam radicem ſubtrahit ex dimidio ipſius pri-
mi, ex quo datur minor pars quæſita, quaipſi dimidio coniuncta, maior pars ha-
betur.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus, 20. propoſito modo, in duas partes
eiuſmodi diuidendus, vt productum radicum æquale ſit (verbigratia) 8. Dimi-
dium priminumeri in ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum erit .100. ex
quo quadratum ſecundi numeri, nempe .64. detrahemus, remanebitque remanebitq́; .36. cuius radi
ce quadrata coniuncta .10. dimidio inquam primi numeri propoſiti, dabitur nume
rus .16. pars maior, & ſubtracta à dimidio, dabitur minor pars, nempe .4.

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer