Quamuis Eutotius ſcribat ſuper duas vltimas lib. ſecundi de centris grauium grauiũ, nihil
miror ipſum tibi non ſatisfacere. Accipe igitur quod ego nunc tibi mitto.

Archimedes eo in loco primum primũ ſupponit in penultima dicti libri quatuor lineas
proportionales .a.b : c.b : d.b : et .e.b : ſupponit etiam quod proportio quæ eſt ipſius .
e.b. ad .e.a. eadem eadẽ ſit quæ ipſius .f.g. ad tres quintas ipſius .a.d. & quod proportio com
poſiti dupli ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
IO. BAPT. BENED. ipſius .b.e. ad compoſitum quintupli ipſius .a.b. cum decuplo ipſius .c.b. cum decuplo
ipſius .b.d. cum quintuplo ipſius .b.e. eadem ſit quæ ipſius .g.h. ad .a.d. & vult proba-
re .f.h. eſſe duas quintas ipſius .a.b .

6.43.1.1.

0397-01

Cum autem dicit proportionem ipſius .a.c. ad .c.d. & ipſius .c.d. ad .d.e. eſſe vt ipſius
a.b. a [?] d.b.c. & cętera, verum dicit ex .19. quinti Eucli. eo quod cum ex hypotheſi ſit
ipſius, a.b. totalis ad .c.b. totalom vt ipſius .c.b. partialis (ſumptæ vt pars abſciſa ab .a.
b. pro nunc) ad .d.b. partialem (abſciſam ab .c.b. ) erit ex .19. dicta ipſius .a.c. (reſidui
ex .a.b. ) ad .c.d. (reſiduum ex .c.b. ) vt ipſius .a.b. ad .c.b. & ita probabitur de pro-
portione ipſiuas .c.d. ad .d.e. eadem ratione.

Cum verò ex .18. quinti ſit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .c.b. vt ipſius .a.d. ad .d.e. ergo ex
22. eiuſdem, ita erit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .d.b. vt .a.d. ad .d.e. & exijſdem rationibus
eadem proportio erit ipſius .c.b. cum .d.b. ad .b.e. vt .a.d. ad .d.e. quod inquit Archi. Verum etiam erit (ex .13. quinti) cum dicit eandem proportionem eſſe ipſius .a.d.
ad .d.e. quę dupli primi antecedentis cum ſimplo ſecundi antecedentis ad duplum
primi conſequentis cum ſimplo ſecundi conſequentis, hoc eſt dupli ipſius .a.b.c. cum cũ
ſimplo .c.b.d. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b. hoc eft dupli .a.b. cum triplo ip-
ſius .b.c. cum ſimplo .d.b. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b . Nunc duplum .a.b.
cum triplo .b.c. cum ſimplo .b.d. ſignatum ſit charactere .D. ſuum verò conſequens,
hoc eſt duplum .d.b. cum cũ ſimplo .e.b. ſignificetur à charactere .B. hinc proportio ipſius
a.d. ad .d.e. erit vt .D. ad .B .

Inquit nunc Archimedes, ſi quis ſumeret aliquod maius antecedens æquale ſci-
licet duplo ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.e. cum quadruplo ipſius .b.d. cum du-
plo ipſius .b.e. compararetque compararetq́; illud cum conſequente cõſequente .B. clarum eſſet ex .8. quinti quod
tale antecedens maiorem proportionem haberet ad .B. quam ad .D. hoc eſt maiorem
quàm ipſius .a.d. ad .d.e. ex .12. quinti.

Nunc ſi ſumpta fuerit aliqua linea, puta .d.o. cui .a.d. dictam dictã habeat proportionem
maiorem, larum erit ex ſecunda parte decimę quinti quod .d.o. minor erit ipſa .d.e.
Corrige igitur impreſſionem Baſileę locando characterem .o. inter .d. et .e. eo quod
ibi poſitum non fuit.

Volo nunc quod dictum maius antecedens æquale ſcilicet duplo ipſius .a.b. cum
quadruplo ipſius .b.c. cum quadruplo ipſius .b.d. cum duplo ipſius .b.c. ſignificetur à
charactere .A . Hinc habebimus proportionem ipſius .a.d. ad .d.o. ut .A. ad .B .

Ex .18. quinti poſtea habebimus .A.B. ad .B. vt .a.o. ad .d.o. & proportionalitate
euerſa in .19. dicti ita erit .A.B. ad .A. vt .a.o. ad .a.d . Sed hoc vltimum antecedens in
ſe continet id quod Archimedes ſcribit, hoc eſt duplum ipſius .a.b. quadruplum quadruplũ ipſius
b.c. ſexcuplum ipſius .b.d. & triplum ipſius .b.e . Conſequens verò .A. continet du
plum ipſius .a.b. quadruplum ipſius .b.c. quadruplum ipſius .b.d. & duplum ipſius .b.e .

Ex ſuppoſito deinde ipſius Archimedis & ex conuerſa proportionalitate in .19.
dicta, verum eſt id quod dicit Archimedes, videlicet quod eadem proportio eſt
ipſius .a.d. ad .g.h. quod quintupli ipſius .a.b. cum quintuplo ipſius .b.e. cum decuplo
ipſius .b.c. cum decuplo ipſius .b.d. (quod quidem antecedens ſignificetur per .V. )
ad duplum ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
ipſius .b.e. hoc eſt ad .A.B .

Erit igitur .V. ad .A.B. vt ipſius .a.d. ad .g.h. ſed ſuperius vbi ſignatum eſt .T. iam
probatum fuit ita eſſe .A.B. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .a.d . Ergò ex .23. quinti Archime
des verum ſcribit, hoc eſt quod ita erit ipſius .V. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .g.h .

Clarum per ſe etiam eſt, id quod Archimed. dicit hoc eſt quod .V. ad .A. eſt vt
EPISTOL AE. quinque ad duo, cum quodlibet ingredientium in compoſito .V. ad quodlibet in-
gredientium in compoſito .A. ſit vt quinque ad duo. Quare ex .13. quinti verum
dicit. Vnde .a.o. ad .g.h. erit vt quinque quinq; ad duo ex .11. eiuſdem eiuſdẽ vt inquit Archimedes.

Corrige impreſſionem vbi ſcriptum eſt, rurſus quoniam .o.a. quia oportet dicere
Rurſus quoniam .o.d .

Archimedes igitur verum dicit, quod ipſius .o.d. ad .d.a. eſt vt ipſius .B. ad .A. ex
IO. BABPT. BENED. conuerſa proportionalitate in .19. quinti, cum .a.d. ad .d.o. iam probatum fuit (vbi
B.) ita eſſe ut .A. ad .B .

6.43.1.1.

0399-01

Sed in principio huius ſpeculationis probatum iam fuit ita eſſe ipſius .d.a. ad .d.e.
vt ipſius .D. ad .B. vbi notatum eſt .M . quare ex .23. quinti, Archimedes verum dicit,
qu od .d.o. ad .d.e. erit vt .D. ad .A .

Sed cum .d.o. ad .d.e. ſe habeat ut .D. ad .A. erit ex conuerſa proportionalitate iam
dicta .d.e. ad .d.o. vt .A. ad .D. per euerſam vero erit .d.e. ad .a.o. vt .A. ad ſuum reſi-
duum. quod reſiduum componitur ex ſimplo .b.c. cum triplo .b. cum duplo .b.o. quod
à te ipſo videre poteris detrahendo numeros ipſarum quantitatum quæ in .D.
reperiuntur, ex numeris earundem, quæ in .A. quod quidem reſiduum ſigniſicetur
à charactere .E . Vnde ex conuerſa proportionalitate verum dicit Archime. hoc eſt
quod ita ſe hab ebit .o.e. ad .d.e. vt .E. ad .A .

Cum autem ſit .a.b. ad .c.b. vt .c.b. ad .d.b. & ita .d.b. ad .e.b. ex ſuppoſito, ideo ex
17. quinti verum dicit Archim. hoc eſt quod ita erit ipſius .d.e. ad .e.b. vt .a.c. ad .c.b.
& vt .c.d. ad .d.b. & ex .13. eiuſdem eadem proportio erit tripli ipſius .c.d. ad triplum
ipſius .d.b. quæ dupli ipſius .d.e. ad. duplum ipſius .e.b. vt inquit Archi.

Ex qua .13. compoſitum ex .a.c. cum triplo ipſius .c.d. cum duplo ipſius .d.e. ean-
dem proportionem habebit ad compoſitum compoſitũ ipſius .c.b. cum triplo ipſius ipſiꝰ .d.b. cum duplo
ipſius .e.b. quam ipſius .d.e. ad .e.b . Sed horum compoſitorum primum ſignificetur
per .H. ſecundum verò ſignificatum fuit per .E. vnde .H. ad .E. ſe habebit vt .d.e. ad
e.b. ſed .E. ad .A. iam dictum eſt eſſe vt .o.e. ad .d.e. vbi ſignatum eſt .λ . quare ex .23.
quinti eadem proportio erit ipſius .o.e. ad .e.b. quæ .H. ad .A. vt ipſe inquit.

Ex .18. poſtea eiuſdem ita erit .o.b. ad .e.b. vt .H.A. ad .A .

Notandum etiam eſt quod ſi collectæ fuerint omnes partes compoſiti .H.A. hoc
eſt duplum .a.b. cum duplo .b.e. cum quadruplo .b.c. cum quadruplo .b.d. cum ſimplo
a.c. cum triplo .c.d. cum duplo .d.e. habebitur triplum .a.b. triplum .b.d. & ſexcuplum
b.c. vt ipſe dixit. Quod autem hoc verum ſit, cum diſtinctæ fuerint omnes partes,
vt in ſubſcriptis his lineis videre eſt, videbis quod ſi ex .H. detracta fuerit ſimplex .a.
c. quæ quidem poſtea iuncta vni ex partibus quadrupli .b.c. ipſius .A. reſultabit nobis
vna inte gra .a.b . Vnde habebimus triplum ipſius .a.b. & in .A. remanebit triplum ip
ſius .c.b . Deinde ſi ex .H. auferatur triplum ipſius .c.d. & ipſum addatur tribus parti-
bus quadrupli .b.d. ipſius .A. habebimus tres vices .b.c. quæ ſi iungantur tribus, quæ
remanebant in .A. vt dixi, habebimus ſexcuplum ipſius .b.c. & in .A. remanebit ſim
plum .b.d. cum duplo ipſius .b.e . Vnde ſi ex .H. demptum fuerit duplum ipſius .d.
e. quod quidem iungatur cum duplo ipſius .b.e. habebimus duplum ipſius .b.d. quod
coniunctum cum ſimplo .b.d. quod in .A. relictum fuerat, habebimus triplum ipſius
d.b . Verum igitur eſt quod inquit Archimedes, hoc eſt, quod .H.A. eſt triplum ip-
ſius .a.b. ſexcuplum ipſius .b.c. & triplum ipſius .b.d .

Verum etiam dicit ex eo (vt ſupra probatum eſt) quod .a.c : c.d : et .d.e. ſe habebant habebãt
in continua proportionalitate, quare ex conuerſa proportionalitate erunt ſibi inui-
cem continuæ proportionales.

Nunc autem cum .a.c : c.d. et .d.e. ſint continuæ proportionales in ea proportione
in qua ſunt .a.b : c.b : d.b : et .e.b. vt in principio diximus, erit ex .22. quinti .a.c. ad .d.
e. vt .a.b. ad .d.b. & ſic etiam .c.b. ad .e.b . Vnde ex .24. eiuſdem .a.d. ad .d.e. erit vt .a.
b. cum .b.e. ad .d.b. & vt .c.b. cum .b.d. ad .e.b. & ex .13. dicti vt .a.b. cum .b.e. bis
ſumpto, & cum .b.d. ad .e.b . Quare ex conuerſa proportionalitate, vt ſe habet .e.d.
ad .d.a. ita ſe habebit .e.b. cum cũ .d.b. ad d.b. cum cũ .b.c. duplicato & cum cũ .b.a. vt inquit Archi
medes. Nunc antecedens vocetur .M. hoc eſt .b.e. cum .d.b. conſequens verò, hoc EPISTOLAE. eſt .d.b. cum duplo .b.c. cum ſimplo .b.a. vocetur .N .

Animaduertendum tamen eſt quod impreſſio mendoſa eſt ubi dicit. vnaquæque .c.b : b.d. & cætera,
propterea quod dicendum eſt ita
vnaquæque vnaquæq; e.b : b.d .

Nunc ex .18. quinti, quemadmodum ſe habet .a.e. ad .d.a. ita ſe habebit .M.N. ad .N.