Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

In eo quod à me petis, mittendo te ad Eutotium, tibi non ſatisfacerem, cum Eu-
totius citet ſextum librum Pergei, quem nunquam vidimus, ſupponatque ſupponatq́; ea, quæ nec
ipſe nec alius vnquam quod ſcimus probauit.

Deſideras enim demonſtrationem illius quod Archimedes dicit inter primam,
& ſecundam propoſitionem ſecundi libri, vbi tractat de centris grauium, propte-
rea quod illud ſupponit pro manifeſto.

Sit enim figura hic ſubſcripta, ferè ſimilis parabolæ poſitæ in .2. propoſitione di
cti libri, vt in impreſſione Baſileenſi habetur, ſintque ſintq́; diuiſæ duæ .a.b. et .b.c. per æqua
lia à punctis .x. et .u. protractisque protractisq́; .f.x. et .u.i. ad .b.d. quæ inuicem etiam erunt parallelę
ex .30. primi Eucli. vnde ipſæ etiam, diametri erunt ipſarum portionum: vt ex eo col
ligere eſt, quod in .49. primi lib. Pergei probatur. Imaginando poſtea ad puncta .b.
f.
er [?] .i. tres contingentes, manifeſtum erit punctum .b. illud eſſe quod terminat alti-
tudinem huiuſmodi portionis, et .f. et .i. terminantia altitudines partialium, ex .5. ſe­
cundi ipſius Pergei, eo quod dictæ contingentes paralellæ erunt ipſis baſibus, vnde
trianguli inſcripti, eaſdem habebunt altitudines, quas portiones ipſæ, quod erit ex
mente Archimedis. Et ſic deinceps poteris multiplicare angulos ſiguræ rectilineæ
in parabola, quæ deſignata erit vt deſiderat Archimedes, qui quidem dicit, quod
protractæ cum fuerint aliæ deinceps poſt .f.i. ipſæ inuicem ęquidiſtantes erunt erũt, diuiſę-
q́ue peræqualia ab .d.b. quod quanuis quãuis verum verũ ſit, tantum tñ ab Eutotio non ſatis demonſtratum demõſtratũ
eſt, cum ſupponat .a.f.b. æqualem eſſe ipſi .b.i.c. probare volens eius diametros æqua
les eſſe abſque aliqua citata ratione, quæ quidem ratio eſſet conuerſum .4. propoſi-
tionis libri de conoidalibus. Sed oporteret nos etiam etiã videre .6. librum ipſius Pergei,
& propterea tibi non ſatisfacerem.

Eſto igitur, ut inuenta ſit linea .K. cuius productum in .u.i. æquale ſit qua drato ip
ſius .u.c. inuenta etiam ſit linea .h. cuius productum cum .f.x. æquale ſit quadrato ip-
ſius .a.x. vnde ex conuerſo .49. primi ipſius Pergei, proportio ipſius .K. ad .b.c. erit ut
ipſius .b.c. ad .b.d. & ipſius .h. ad .a.b. vt ipſius .a.b. ad .b.d . Erit igitur ex .16. ſexti Eucl.
quadratum .b.c. æquale producto ipſius .K. in .b.d. & quadratum .a.b. æquale produ-
cto ipſius .h. in .b.d. & ex prima ſexti, ita erit ipſius .K. ad .h. vt producti quod fit ex .K.
in .b.d. ad productum ipſius .h. in .b.d. hoc eſt vt quadrati ipſius .b.c. ad quadratum ip
ſius .b.a. ex .16. et .11. quinti, hoc eſt vt quadrati ipſius .u.c. ad quadratum ipſius .a.x.
hoc eſt ut productum ipſius .k. in .u.i. ad productnm ipſius .h. in .x.f . Nunc ſi ipſius .k.
ad .h. c [?] ſt vt producti ipſius .K. in .u.i. ad productum ipſius .h. in .f.x. ergo ex .24. ſexti,
& communi conceptu, proportio ipſius .k. ad .h. compoſita erit ex ea quæ ipſius .u.i.
ad .f.x. & ex ea quæ ipſius .k. ad .h . Cum ergo dempta fuerit proportio ipſius .k. ad .h.
(vt ſimplex) à proportione ipſius .k. ad .h. (vt compoſita) reliquum nihil erit. Qua-
re .f.x. æqualis erit ipſi .u.i .

Sed quod .f.m. æqualis ſit ipſi .m.i . Videto in Eutotio, quia hoc ſatis ſui natura
facile eſt.

Sed accipe alium modum breuiorem ad probandum .f.x. eſſe æqualem ipſi .u.i .

Finge lineam .e.b.g. conting entem in puncto .b. prolungatisq́ue diametris f.
x.
et .u.i. vſque ad contingentem ipſam, habebis .f.e. æqualem ipſi .f.x. et .g.i. ipſi .u.i.
Ex .35. primi Pergei, producta poſtea .x.u. habeb is ex .2. ſexti Eucli .x.u. parallelam
ipſi .a.c. ſed .e.g. parallela eſt ipſimet .a.c. ex quinta ſecundi ipſius Pergei, quare ex .30
primi Euclid .e.g. parallela erit ipſi .u.x. & ex .34. eiuſdem æqualis erit .e.x. ipſi .u.g.
vnde .f.x. etiam æqualis erit .u.i. ex communi conceptu.

Sed ne quid deſideres probabo .f.m. æqualem eſſe ipſi .m.i . Iam igitur ſcis quod EPISTOLAE. cum ſit .f.x. æqualis ipſi .u.i. vt tibi probaui, & inuicem parallelæ ideo .f.i. parallela
erit ipſi .x.u. ex .33. primi Euclidis. Vnde ex .30. eiuſdem, parallela erit etiam ipſi .a.
c.
ſed cum .x.u. diuiſa ſit ab .d.b. per æqualia, eo quod diuidit .a.c. eodem modo, quę
ipſi parallela eſt ex .2. ſexti. Reliqua tibi conſideranda relinquo. cum verò ambæ .f.
x.
et .u.i. parallelæ ſint ipſi .b.d. ſequitur quod cum ex .34. primi vnaquæque vnaquæq; .f.m. et .m.
i.
æqualis ſit medietati ipſius .x.u. erunt inuicem æquales.

0395-01

Minime dubitabam tibi non ſatisfacere Eutocium in .3. propoſitione ſecundi
lib. de centris Grauium Archimedis, cum citet .6. librum de elementis conicis, ad-
de quod ſi aliud in ipſo .6. libro ab eo citato non eſſet magis ad propoſitum, quàm
ca quæ ab ipſo citata ſunt, nihilominus adhuc irreſolutus maneres.

Conſidera igitur eandem ipſam figuram præcedentem; pro alia verò parabola ſi
mili dictæ, accipe ſecundam figuram ipſius tertiæ dictæ propoſitionis. Deinde ima
ginabis duo latera .o.x. et .o.p. diuiſa eſſe per æqualia in punct is .g. et .K. protractisque protractisq́;
diametris .g.y. et .K.u. quæ, vt in præcedenti probaui, ſunt inuicem æquales, ſcire
debes quod ſimiles parabolæ inuicem aliæ non poſſunt eſſe, niſi eæ quæ diametros
proportionales ſuis baſibus habeant, ſimiliterque ſimiliterq́; poſitæ, hoc eſt, ut proportio ipſius
b.d. ad .a.c. ſit eadem quæ ipſius .o.r. ad .x.p. & quod anguli ad .r. ſint æquales angulis
circa .d . Notentur ergo primum puncta communia ip ſius .o.g. cum .y.t. & ipſius .b. x
cum .f.m. characteribus. ω [?] . et .n . Nunc igitur ſcimus .f.m. æqualem eſſe .m.i. tota mque mq́; .f.
i.
parallelam eſſe ipſi .a.c . Idem dico de .y.t.u. triangulique trianguliq́; .x.f.n. et .g.y. ω [?] . eſſe ſimiles
triangulis .n.m.b. et. ω [?] .t.o. quod ita probatur, nam ex .15. primi Euclid. anguli ad .n.
ſunt inuicem æquales, ex .29. verò eiuſdem anguli .f.x.n. et .n.b.m. ſimiliter æquales
ita etiam .n.f.x. et .n.m.b .

Idem dico in ſecunda figura, vnde ex .4. ſexti Eucli. proportio .n.f. ad .m.n. erit ea
dem quę .f.x. ad .b.m. & ipſius .n.f. ad .x.f. vt .n.m. ad .m.b. ex .16. quinti. Quare ex .11.
IO. BAPT. BENED. eiuſdem erit vt .a.d. ad .d.b . Idem etiam dico in ſecunda parabola, ſed ipſius .x.o. ad
o.r. eſt vt .a.b. ad .b.d. ex .6. ſexti Eucli. vnde ex .11. quinti .n.f. ad .f.x. erit vt .ω.y.
ad .y.g . Sed in precedenti iam tibi dixi .a.b. mediam proportionalem eſſe inter .h.
et .b.d . Sit nunc .z. pro ſecunda parabola, ita ut .h. eſt pro prima, vnde .o.x. crit media
proportionalis inter .z. et .o.r. & ex .11. quinti ita erit .h. ad .a.b. vt .z. ad .x.o. & ex .22.
h. ad .a.x. ut z. ad .x.g. & quia ex .16. ſexti .a.x. media proportionalis eſt inter .h. et .f.
x.
cum ſupponatur productum .h. in .f.x. æquale eſſe quadrato .a.x . Idem dico .x.g.
mediam eſſe proportionalem inter .z. et .g.y. quare ex .11. iam dicta, ita erit .a.x. ad .f.
x.
vt .y.g. ad .x.o. & ex eadem, ita erit ipſius .f.n. ad .a.b. ut .y.ω. ad .x.o. & ſic .f.n. ad .d.a.
vt .y.ω. ad .x.r. ſed .f.m. ad f.n. eſt vt .y.t. ad .y.ω. ex .18. quinti vnde .f.m. ad .a.d. erit vt
y.t. ad .x.r . Idem dico de eorum duplis.

6.43.1.1.
0395-02

Ex ijſdem rationibus dico ita eſſe .b.d. ad .b.m. vt .o.r. ad .o.t. & ex .17. quinti .d.m.
ad .b.m. vt .r.t. ad .t.o . Reliqua tibi conſideranda relinquo.

0396-01

In reliquis verò propoſitionibus illius lib. nullo pacto poteris dubitare: Verum ne
in .4. aliquid tibi noui exurgat, te ſcire volo corollarium .20. in libr. de quadratu­
ra parabolę
docere poſſibile eſſe inſcriptionem rectilineæ, ea tamen conditione quam quã
dicit Archimedes.

In quinta poſtea animaduertendum eſt, quod prima pars, probat tantummodo de
centro trianguli, et .2. pars probat de centro pentagoni, à te ipſo deinde potes pro-
bare de centro nonanguli: & ſic de cæteris: eo quod cum probatum fuerit de centro
figuræ in medio locatæ ſi conſtitutæ poſtea fuerint ſimiles figuræ in portionibus la-
teralibus habebitur propoſitum in infinitum.

Idem intelligendum eſt in .3. propoſitione quamuis exemplum vlterius non ex-
tendatur quam ad pentagonos.

Sexta verò propoſitio ꝓpoſitio tibi ſacilis erit, quæ nihilominus pont põt demonſtrari demõſtrari hoc mon mõ ſcili­
cet. Sint .4. quantitates quãtitates .a.b.c.d. ipſius Archimedis ſupponendo ſupponẽdo .a. pro figura rectilinea
inſcripta in parabola, et .b. pro reſiduo ipſius parabolę et .c. pro triangulo .a.b.c. in me
dio ipſius parabolę et .d. pro triangulo .r . Nunc cum .a. maior ſit .c. prout totum ma-
ius eſt ſua parte, ideo ex .8. quinti maior proportio habebit .a. ad .b. quam .c. ad .b.
Cum autem .b. minor ſit .d. ex ſuppoſito, ideo ex eadem dicta, maior proportio habe
bit .a. ad .b. quam .c. ad .d. cum verò centrum cuiuſuis figuræ plenæ neceſſariò ſit intra
ipſam figuram, idcirco centrum reſidui ipſius parabolę intra ipſam reperietur. quod
ita clarum clarũ per ꝑ ſe eſt, quemadmodum quẽadmodũ quoduis aliud axioma, & quia dictum dictũ centrum centrũ ex .8. primi
de centris, neceſſariò eſt in linea .b.h. inter .b. et .h . Sit igitur .g. vnde ex eadem .8. ita
erit .g.h. ad .h.e. vt .a. ad .b. ergo .g.h. ad .h.e. maior proportio erit quam quã .c. ad .d. hoc eſt
quam .b.h. ad .f. ex .12. quinti. Sed cum.h.b. maior ſit ipſa .h.g. prout omne totum ma-
ius eſt ſua parte, ideo maior proportio habebit .h.b. ad .h.e. quam .h.g. ad .h.e. vnde
multo maiorem maiorẽ quam quã .h.b. ad .f. ex coni cõi conceptu cõceptu, quare .h.e. erit minor ipſa .f. ex .10. quinti quĩti.

Septima verò et .8. propoſitio nullius tibi erit difficultatis.

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer