Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

6.42.2. De incommenſur abilitate, in longitudine perpendicu-
laris trianguli æquilateri cum eiuſdem latere.

AD EVNDEM.

ID quod à me poſtulas eſt omnino impoſſibile, velles enim duos numeros inueni
re inter ſe ita ſe habentes, vt ſe habent perpendicularis in triangulo æquilatero
cum vno eius laterum, quod vero hoc fieri non poſſit, conſidera in figura præcedenti
triangulum æquilaterum .d.l.q. cuius perpendicularis ſit .d.o. quæ diuidit .l.q. per
æqualia in .o. vnde ex .4. ſecundi Euclidis, quadratum .l.q. (ideſt .d.q. ) quadruplum
erit quadrato .o.q. & ex penultima primi ęquale quadratis .d.o. et .o.q. quare erit ſeſ-
quitertium quadrato ipſius .d.o. & ita quadratum .d.o. erit triplum quadrato ipſius .
o.q.
hæe autem proportiones non ſunt vt numeri quadrati ad numerum quadratum
quod ſi ita fuiſſent, ſequeretur ternarium numerum eſſe quadratum ex .22. octaui. Cum igitur non ſint vt numeri quadrati ad numerum quadratum, ſequitur ex ſepti-
ma decimi .d.o. eſſe incommenſurabilem ipſi .l.q. ſeu .d.q. in longitudine.

Vel dicamus ita, proportio quadrati ipſius .l.q. ad quadratum ipſius .o.d. eſt in ge
nere ſuperparticulari, cum ſit ſeſquitertia, vnde quadratum ipſius .d.o. numeris da-
ri non poteſt, eo quod ſi dabilis fuiſſet, ſequeretur, quod inter quadratum ipſius. l [?] .
q.
& ipſius .d.o. eſſet aliquis numerus medius proportionalis ex .16. octaui, vnde ex
octaua eiuſdem vnitas diuiſibilis eſſet, quod fieri non poteſt.

0390-01

6.42.3. De triangulo & Pentagono æquilatero
AD EVNDEM.

MOdum quem conſideraui circa triangulum æquilaterum & pentagonum, vt
tibi ſignificaui ita ſe habet.

Probandum primò eſt pentagonum altiorem eſſe triangulo ſibi iſoperimetro. Iam tibi notam puto proportionem lateris trianguli ad latus pentagoni eſſe vt .5.
ad .3.

Sit igitur pentagonus .b.d.m.g.v. cuius periferia diſtenta ſit .K.z. baſis autem .m.
g.
bifariam diuiſa ſit in puncto .a. ductaque ductaq́; .a.b : b.g. et .b.m. clarum erit .a.b. perdicu-
larem eſſe ad .m.g. ex .8. primi Eucli. cum .b.m. et .b.g. (baſes triangulorum .b.d.m. EPISTOLAE. et .b.u.g. ) ſint inuicem æquales ex .4. eiuſdem.

Accipiatur deinde vel intelligatur .g.p. æqualis duabus te [?] rtijs ipſius .a.g. ducatur­
q́ue .b.p. quam probabo maiorem eſſe duplo ipſius .a.p. vnde maior erit latere ipſius
trigoni æquilateris, cuius dimidium eſt .a.p. ſcimus enim ipſum latus ſe habere ad .m.
g.
vt quinque ad .3. ita etiam .a.p. ad .a.g. vt diximus.

Cum autem autẽ angulus .a.b.g. ſit quarta pars anguli .b.g.a. ex .10. quarti & quinta pars
vnius recti ex .32. primi, dictus angulus erit graduum .18. et .a.g. erit partium .30902.
et .a.b. partium .95015 et .a.p. 51503. vnde ex penultima primi latus .b.p. erit par-
tium .108075. duplum vero ipſius .a.p. erit .103006. latus igitur dicti trigoni, quod
ab .p. erigitur, ſecabit perpendicularem .a.b. ſub .b. hoc eſt inter .b. et .a. ex penultima
primi. Finiatur enim triangulus æquicrurus .b.q.p. quem probaui maiorem eſſe æ-
quilatero iſoperimetro pentagono propoſito, ducaturque ducaturq́; .u.p. ducatur etiam .u.n. pa-
rallela ipſi .b.g. quæ concludet triangulum .g.u.n. ſimilem triangulo .m.b.g. eo quod
cum angulus .m.b.g. æqualis ſit angulo .b.g.u. ex .16. tertij, per .27. primi .m.b. et .g.u.
erunt inuicem æquidiſtantes æquidiſtãtes, vnde angulus .b.m.g. æqualis erit angulo .u.g.n. et. ex .29.
angulus .g.u.n. æqualis erit angulo .u.g.b . quare etiam angulo .g.b.m. & angulus .u.n.
g.
angulo .b.g.m. ex .32. eiuſdem, vnde ex .4. ſexti proportio .g.n. ad .g.m. erit .vt .g.u.
ad .m.b. ſed cum .g.u. maior ſit dimidio ipſius .b.g. ex .20. primi, hoc eſt maior dimi-
dio ipſius .b.m. ergo .g.n. etiam maior erit ipſa .g.a. quapropter maior erit ipſa .g.p.
cum .g.p. minor ſit ipſa .g.a. ex hypotheſi, ducta deinde cum fuerit .b.n. habebimus
triangulum .b.n.g. æqualem æqualẽ triangulo .b.u.g. & maiorem maiorẽ triangulo triãgulo .b.p.g. ex prima ſexti
vel quia totum maius eſt ſua parte. Triangulus igitur .b.u.g. maior eſt triangu-
lo .b.p.g . quare triangulus .b.u.o. maior erit triangulo .g.o.p. ex communi conceptu,
idem infero ab alia parte dictarum figurarum. Quare pentagonus .b.d.m.g.u. maior
erit triangulo .b.q.p. quem probauimus maiorem eſſe triangulo æquilatero ſibi iſo-
perimetro.

0391-01

6.42.4. Comparatio periferiarum quadrati & trianguli aquilateri circunſcriptorum ab eodem circulo.
AD EVNDEM.

QVod autem periferia quadrati in eodem circulo inſcripti, in quo ſit triangu-
lus æquilaterus, longior ſit periferia ipſius trianguli æquilateri, abſque vllo IO. BAPT. BENED. negotio cordarum & arcuum poſſumus geometricè demonſtrare quod valde de-
ſideras.

Quapropter ſit circulus .b.a.e.q. in quo ſit triangulum triangulũ æquilaterum .b.e.n. & quadra
tum .b.a.q.u. cuius periferiam probabo longiorem eſſe periferia trianguli. Sit enim
diameter circuli .b.q. qui etiam erit diameter quadrati, vt à te ſcire potes. Sit etiam
punctum punctũ .b. commune tam anguli quadrati quam trianguli. vnde ſequitur quod dictus
diameter ſecabit latus .n.e. trianguli ad rectos & per æqualia in .t . Nam cum arcus .b.
e.
æqualis ſit arcui .b.n. ex .27. tertij, remanet vt arcus .q.e. equalis ſit arcui .q.n. vnde
angulus .q.b.e. æqualis erit angulo .q.b.n. ex .26. eiuſdem. quare ex .4. primi anguli
ad .t. erunt recti, et .n.t. æqualis erit ipſi .t.e. vt diximus.

Deinde .b.e. et .q.a. ſeinuicem ſecant ſecãt in puncto .o. vt ex ſe clarum patet, ducatur po
ſtea .q.e. vnde habebimus angulum .b.e.q. rectum ex .30. tertij, quare ex .18. primi .q.
o.
longior erit ipſa .q.e. et .q.e. longior erit ipſa .e.t . quare .q.o. longior erit ipſa .t.e .

Vt probemus poſtea .b.a.o. longiorem eſſe ipſa .b.e. producatur .b.a. ita quod .a.
p.
æqualis ſit ipſi .a.o. ducaturque ducaturq́; o.p. et .a.e. cum autem ex iam dicta .30. tertij angulus
b.a.o. rectus rectꝰ ſit, erit angulus .o.a.p. ſimiliter rectus rectꝰ ex .13. primi, vnde ex .5. et .32. eiuſdem eiuſdẽ
angulus .a.p.o. erit dimidium recti, & ſimiliter, exijſdem, angulus .b.q.a. eſt dimidium
recti quare angulus .a.p.o. æqualis erit angulo .a.q.b. ſed angulus .a.e.b. æqualis eſt an
gulo .a.q.b. ex .20. tertij, ergo angulus .b.p.o. æqualis erit angulo .b, e.a. angulus vero
a.b.e. communis eſt ambobus triangulis .a.b.e. et .o.b.p . quare ex .32. primi anguli .
b.a.e.
et .b.o.p. reliqui ex duobus rectis æqua
les inuicem erunt. Quare ex quarta ſexti,
et .18. quinti proportio .b.o. ad .b.p. erit, vt
b.a. ad .b.e. ſed ex .18. primi .b.o. maior eſt
ipſa .b.a . quare ex .14. quinti .b.p. maior erit
ipſa .b.e. ſed .b.p. æquatur ipſis .b.a. cum .a. o
ex hypoteſi, ergo .b.a. cum .a.o. maior erit
ipſa .b.e. ſed .q.o. maior erat ipſa .t.e. vt ſupe
rius vidimus, quare .b.a. cum .a.o. et .o.q. ma
ior eſt ipſa .b.e. cum .e.t. hoc eſt dimidium
periferię ipſius quadrati, maius maiꝰ erit dimidio
periferię ipſius ipſiꝰ trianguli triãguli propoſiti, quare ex 14.
dicta tota periferia dicti trianguli, ſimiliter
probarem de omnibus alijs figuris regulari
bus eodem circulo inſcriptis.

6.42.4.1.
0392-01

6.43.

6.43.1. CONSIDERATIONES NONNVLLÆ IN
Archimedem.

Doct ßimo atque Reuerendo Domino Vincentio
Mercato.

QVod tibi aliàs dixi verum eſt, intellectum ſcilicet non omninò quieſcere cir
ca illas duas Archimedis propoſitiones, quæ in translatione Tartaleæ ſunt
ſub numeris .4. et .5. & in impreſſione Baſileæ ſub numeris .6. et .7. vbi
tractat EPISTOLAE. tractat de centris libræ, ſeu ſtateræ: A ſpice igitur in .4. ſupradicta, quod cum appen-
ſæ fuerint omnes illæ partes ponderum, partibus longitudinis ipſius .l.K. in qua volo
vt à punctis .e. et .d. imagineris duas lineas .e.o. et .d.u. inuicem æquales, & ferè per-
pendiculares ipſi .l.K. hoc eſt reſpicientes mundi centrum; imagineris etiam .o.u.
quæ ſit paralle la ipſi .l.k. quæ diuiſa ſit in puncto .i. ſupra .g . Hinc nulli dubium erit,
cum .g. fuerit centrum totius ponderis appenſi ipſi .l.K. quod .i. ſimiliter erit centrum
cum directe locatum ſit ſupra .g. hoc eſt in eadem directionis linea, quod quidem
non indiget aliqua demonſtratione, cum per ſe ſatis pateat. Vnde ex communi
conceptu .o. erit centrum ponderis appenſi ipſi .l.h. et .u. erit centrum ponderis ap-
penſi. ipſi h.K . Scimus igitur igit̃ .i. eſſe centrum cẽtrum duorum, hoc eſt ipſius .l.h. & ipſius .h.k. con
tinuatorum per totam .l.k . Nunc ergo ſi conſideremus .l.k. diuiſam eſſe, hoc eſt di-
ſiunctam in puncto .h. inueniemus nihilominus .i. centrum eſſe dictorum ponderum,
& quod tantum eſt, ipſam eſſe continuam continuã, quantum diuiſam in dicto puncto .h. neque
ex hoc, punctum .i. erit magis vel minus centrum duorum ponderum .l.h. et .h.k. quo
rum vnum pendet totum ab .o. aliud verò totum ab .u. & hoc modo in longitudine .
o.u.
diuiſa vt dictum eſt, habebimus propoſitum.

6.43.1.1.
Note:

Reliquam propoſitionem tibi relinquo.

Illa verò propoſitio, quam tibi dixi Archimedem tacuiſſe in huiuſmodi materia
eſt, quod ſi duo pondera æquilibrant ab extremis alicuius ſtateræ, in certis præfixis
diſtantijs à centro. Tunc dico ſi eorum vno manente alterum moueatur remotius
ab ipſo centro quod illud deſcendet, & ſi vicinius ipſi centro appenſum fuerit aſcen-
det. Hæc enim propoſitio quotidie omnibus in locis videtur, ipſam verſo4; puto Ar
chimedem prætermiſiſſe ob facilitatem, cum ab antedicta ferè dependeat.

Sit exempli gratia ſtatera .a.u. cuius centr um ſit .i. & pondera .u.a. appenſa, ſein-
uicem habeant vt .i.u. et .i.a. ſe inuicem habent. Nunc dico quod ſi pondus ipſius .u.
poſitum fuerit vicinius centro vt puta in .o. inmoto exiſtente pondere, a. quod bra-
chium .i.o.u. aſcendet, & è conuerſo, ſi remotius poſitum fuerit, deſcendet.

6.43.1.1.
Note:

Ponatur Ponat̃ ergo vt dictum dictũ eſt in .o. vicinius centro cẽtro, quapropter brachium .i.o. breuius breuiꝰ erit
brachio .i.u. vnde minor proportio erit ipſius .i.o. ad .i.a. quàm.i.u. ad eundem .a.i. &
conſequenter quam ponderis ipſius .a. (quod ſit .n.e. ) ad pondus ipſius .u . Quare ſi cx
pondere .n.e. dempta fuerit .e. pars eius, ita quod reliqua pars .n. ſe habeat ad pondus
o. vt ſe habet. i [?] .o. ad .i.a. tunc ſtatera non mouebitur; addita verò parte .e. ex com-
muni conceptu, a. deſcendet vnde .o. aſcenderet conuerſum verò ex ſimilibus ratio-
nibus per te concludes.

0393-01

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer