Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

6.22.

6.22.1. ELIPSIM PROPOSITAM QVALITER
quadrare valeamus.
Illuſtri Uiro Franciſco Mendo Zzæ

QVod antea tuo nomine fecerat Marcus Antonius amicus noſter ſufficie-
bat. Sed quia, quæ nunc à me petis, talia ſunt, vt ſine tripartita aequa- liter ęqua-liter aliqua data proportione non poſſit aliquis exactè intentum perfice-
re, nihilominus, ſuppoſita di
cta diuiſione, reliqua facilia erunt erũt. Primum Primũ
enim eſt. Propoſitam Ellipſim qua-
drare.

6.22.1.1.
0314-01

Sit igitur igit̃ Ellipſis propoſita .a.b.d.c. cu-
ius axes ſint .a.b. et .d.c. dati, ſeu reperti reꝑti ex
47. ſecundi ſecũdi Pergei, ſintque ſintq́; duo circuli .a.e.
b.f.
et .g.d.h.c. circa eaſdem diametros,
tunc tũc proportio .a.b. ad .d.c. dimidium dimidiũ erit
proportionis circulorum ex .2. 12. Eu-
clid. ſed proportio .a.b. ad .d.c. æqualis
eſt proportioni maioris circuli ad Elli
pſim .ex .5. Archimedis in lib. de cono­
idalibus, quapropter proportio Elli-
pſis ad minorem circulum altera me-
dietas erit totius proportionis circulo-
rum, hoc eſt maioris ad minorem, qua
re Ellipſis media proportionalis erit
inter eos circulos. Nunc verò cum
ex Archimede repertę fuerint duæ fi-
guræ rectilineæ æquales duobus circu
lis iam dictis, & inter has, reperta fue
rit alia media proportionalis propoſi-
tum obtinebimus.

6.22.2. Spheroidem propoſitam cubare.
AD EVNDEM.

PRopoſita ſphæroides erit, aut prolata, aut oblonga, ſit prius prolata, ſitque ſitq́; .a.b.
diameter circuli, qui eam per æqualia ſecat, circa quam .a.b. vt circa axem in-
telligatur ſphæroides oblonga, cuius ſpiſſitudo ſit .d.c. axis prolatæ, cogitemus nunc nũc
duas ſphæras .a.e.b.f. et .g.d.h.c. circa dictos axes. Vnde quatuor corpora habebi-
mus, hoc eſt duas ſphæras, & duas ſphæroides, quas probabo continuas proportio-
nales inuicem eſſe.

Conſideremus igitur duos conos rectos, quorum .a.b. diameter ſit eorum baſium,
altitudo autem maioris, æqualis ſit ſemidiametro majori, hoc eſt medietati .a.b. al- EPISTOLAE. titudo verò minoris, æqualis ſit ſemidiametro minori, hoc eſt medietati .d.c. vnde
habebimus proportionem coni maioris ad conum minorem, eandem eãdem quæ eſt diame
tri maioris ad diametrum minorem, quod ex .2. parte .11. duodecimi Eucli. nec non
ex .9. eiuſdem manifeſtum eſt, ſed conus minor, eſt quarta pars ſphæroidis prolatæ
ex .29. Archimedis in lib. de conoidalibus, & conus maior, eſt etiam quarta pars
ſphæræ, ex .32. primi lib. de ſphæra, & cyllindro, quare ex communi ſcientia, eadem eadẽ
proportio erit ſphæræ maioris ad ſphæroidem prolatam, quæ .a.b. ad .d.c. ſed pro-
portio .a.b. ad .d.c. eſt tertia pars proportionis maioris ſphæræ ad minorem minorẽ. Conſidere
mus nunc nũc alios duos conos rectos, vnius & eiuſdem eiuſdẽ baſis, cuius cuiꝰ diameter ſit .d.c. ſed altitu
do maioris, æqualis ſit ſemidiametroſphęrę maioris, altitudo verò minoris, ſit æqua
lis ſemidiametro minoris ſphæræ, vnde ex dictis rationibus habebimus proportio- nem proportio-nẽ maioris coni ad minorem minorẽ, vt quæ eſt .o.b. ad .o.d. hoc eſt vt .a.b. ad .d.c. & ex dictis pro­ poſitionibus ꝓ­poſitionibus ita ſe habebit ſphæroides oblonga ad ſphęram minorem vt .a.b. ad .d.
c.
hoc eſt tertia pars proportionis ſphæræ maioris ad minorem. Quare proportio
ſphæroidis prolatæ ad oblongam, erit reliqua tertia pars proportionis maioris ſphae­ ræ ſphę­ræ ad minorem. Quapropter hæc quatuor corpora continua proportionalia inui-
cem erunt.

Nunc verò quærenda eſt inter .a.b. & ſuas duas tertias partes vna media pro por-
tionalis, quæ ſit .K. & ex Archimede, inuentum ſit quadratum ęquale circulo, cuius
ſit .K. diameter. Vnde proportio circuli (cuius .a.b. eſt diameter) ad circulum cu-
ius .K. eſt diameter, ſeſquialtera erit ex .2. 12. Eucli.

Ducatur deinde quadratum lineæ .K. in lineam .a.b. & proueniet nobis cor-
pus quoddam, quod æquale erit ſphærę maiori, ex corellario .32. primi de ſphęra &
cyllindro, cuius corporis, latus cubus ſit .m .

Idem facere oportebit mediante .d.c. minoris ſphærę, cuius corporis cubica ra-
dix ſit .n .

Nunc verò inter .m. et .n. inueniantur duę medię proportionales .s.t. & ex .s. pro-
ducatur cubus, qui ęqualis erit ſphęroidi prolatæ propoſiti, cubus vero .t. æqualis
erit ſphęroidi oblongę, cuius axis eſſet .a.b .

Si autem ſphęroides oblonga nobis propoſita fuiſſet, eodem methodo ſoluere-
tur problema.

6.22.3. Quadratum circulis mediantibus deſignare.
AD EVNDEM.

MOdus autem conficiendi quadratum ex circulis ſupra datam lineam, vt Do-
minum Gaſparem docui, facillimus eſt.

Sit enim linea .b.a. 46. propoſitionis primi Euclidis, poſitoque poſitoq́; pede immobli circi-
ni in puncto .a. ſecundum quantitatem lineæ .a.b. propoſitę fiat circulus, ſimiliter cir-
ca punctum .b. alius circulus eiuſdem magnitudinis, erecta deinde ſola .a.c. perpendi
culari ipſi .a.b. ex puncto .a. ipſa ſecabitur à circunferentia circuli. cuius centrum eſt .
a.
in puncto .c. vnde .a.c. æqualis erit .a.b. poſito demum pede immobili ipſius circi
ni in puncto .c. ſecundum longitudinem ipſius .c.a. fiat alius circulus, qui æqualis erit
reliquis duobus circulis cum eorum ſemidiametri æquales ſint, & hic vltimo factus
ſecabit circulum, cuius centrum centrũ eſt .b. in puncto pũcto .d. à quo cum ductæ fuerint .d.c. et .d.b. IO. BAPT. BENED. rectè habebimus quod volumus. nam omnia latera ſunt inuicem ęqualia ex condi-
ti onibus circuli, angulus autem .a. rectus effectus fuit, tunc ſi imaginatione cogita-
ta fuerit diameter .b.c. ex .8. primi, concludemus angulum .d. eſſe rectum deinde ex .5
et .32. eiuſdem concludemus etiam reliquos angulos rectos eſſe.

Circa verò id quod mihi ſcripſiſti de igne perpetuo putans nugas eſſe, quod Ro-
mæ inuentæ fuerint lucernę ardentes in ſepulchris antiquorum. Ego quid em mi-
nimè puto eas nugas eſſe, propterea quod tales lucernas non vnus tantum aut duo
viderint, ſed multi homines fide digniſſimi. Prętera cum aisid nulla ratione poſſe
fieri. Reſpondeo quod maxima ratione poſſibile eſſe puto, quam quidem ra-
tionem ita eſſe oportet, quod primum lucerna ſit perfectè circuncluſa, vt
materia in ea conſtituta nullo modo exire poſſit, deinde quod materia inflamabilis
talis ſit, vt excrementum fuliginoſum ex flamma tranſmiſſum, tangendo ſuperfi-
ciem deuexam ipſius lucernæ, aptum ſit in priſtinum priſtinũ humorem humorẽ conge [?] lari, ſiue transfor-
mari, vnde materia prima per tres formas perpetuò tranſibit, hoc eſt per humorem,
ſiue oleum tale, vt diximus, per ignem, ſeu flammam, & per vaporem, ſeu exhala-
tionem fuliginoſam aptam condenſari, atque in priorem humorem illicò reuerti.

6.23.

6.23.1. DE DIVISIONE TRIANGVLI SECVNDVM
propoſitam proportionem.

Michaeli Angelo Muciaſco.

QVod mihi proponis, tale eſt, vt ſcilicet tibi modum ſcribam diuidendi
triangulum propoſitum ſecundum datam proportionem à linea tranſeun
te per punctum notatum extra triangulum.

Tr [?] iangulum iangulũ igitur igit̃ à te mihi propoſitum ſit .n.o.u. conſidero primum primũ quod ſi
quis ipſum diuiſerit in duas partes mediante .e.s. parallela ad .n.u. ea proportione,
quam mihi proponis. deinde inuenerit in dicta .e.s. punctum .r. per quod tranſiens
alia linea à puncto .p. propoſito, ita quod efficiat duo triangula .m.r.e. et .r.s.x. inui-
cem æqualia, problema ſolutum erit.
eo quod triangulum .m.o.x. æquale
eſſet triangulo .e.o.s. & quadrilate-
rum reſiduum .m.n.u.x. etiam ęquale
eſſet quadrilatero .e.n.u.s .

6.23.1.1.
0316-01

Sed dum punctum .r. uenarer, alia
via mihi in mentem venit, cognoui
igitur quod quum propoſitum expe-
ditum fuiſſer, hoc eſt, quod ꝙ ſi à puncto p.
protracta eſſet linea .p.m. quę trian-
gulum .n.o.u. in duas partes inuicem
ita proportionatas diuiſiſſet, vt ſe ha
bet .A. et .B. ita ſe haberet productum productũ
n.o. in .o.u. ad productum .m.o. in .o.
x.
vt trianguli .n.o.u. ad triangulum
m.o.x. quod quidem non eſt diffi-
cile ſpeculari, ex methodo .24. ſexti, EPISTOLAE. eo quod tam proportio producti .n.o. in .o.u. ad productum .m.o. in .o.x. quam pro-
portio trianguli .n.o.u. ad triangulum .m.o.x. componitur ex proportione .u.o. ad .o.
x.
& ex proportion e.n.o. ad .m.o. vnde proportio dictorum productorum nobis co-
gnita erit, eo quod cum nobis cognita ſit proportio .A. ad .B. vt data, cognita etiam
nobis erit coniuncta, hoceſt .A.B. ad .B . & propterea ea quæ trianguli .n.o.u. ad trian- gulum triã-gulum .m.o.x. & ſimiliter productorum. Quæſiui poſtea modum inueniendi duas
dictas lineas .m.o. et .o.x. & cognoui quod ſi producta fuerit .p.i. æquidiſtans li-
neæ .o.x. producendoque producendoq́ .o.n. quouſque cum .p.i. ſe interſecarent in puncto .i. inuenien
do poſtea lineam quandam, quæ ducta cum .p.i. efficeret rectangulum æquale rectan
gulo cognito quod ex .m.o. in .o.x. poteſt fieri, quod cognitum dico, eo quod nobis
cognita eſt proportio data, & rectangulum etiam .n.o. in .o.u. deinde ſecando ab .o.
n.
partem æqualem lineæ iam inuentæ, quæ ſit .o.t . Inueniendo poſtea, ex .28. ſexti
lineam .o.m. cuius productum in .m.t. æquale ſit producto .t.o. in .o.i. vnde ex .15. eiuſ
dem proportio .o.i. ad .m.o. eadem eſſet, quæ .m.t. ad .o.t. & componendo, ita ſe ha-
beret .m.i. ad .m.o. vt .m.o. ad .o.t. ſed ex .4. ſexti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.i. ad .m.o . quare ex .11. quinti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.o. ad .o.t. vnde ex .15. ſexti productum .
o.x.
in .m.o. æquale eſſet producto. p, i. in .o.t. & ſic haberemus intentum.

6.23.1.1.
0316-02
0316-03

Sed ſi punctum .m. caderet in punctum .n. idem eſſet, ſi vorò punctum .m. tranſiret
n. oporteret nos facere hoc in latere .n.u. ipſum quærendo in linea .n.u. ducendo pri
mum lineam .p.i. æquidiſtantem æquidiſtantẽ .u.x. & producendo .u.n. ad partem .u. proſequendo, quod
ſuperius iam dictum eſt.

6.23.2. Idem facere de parallelogr ammo.
AD EVNDEM.

DAtum parallelogrammum in duas partes diuidere, ſecundum aliquam datam
proportionem à linea tranſeunte per punctum propoſitum.

Sit exempli gratia, datum parallelogrammum .b.u. datum verò punctum .o. extra
figuram, proportio autem ea ſit, quæ .A. ad .B. vt ſupra. Nunc diuidatur primò re-
ctangulum datum per æqualia, mediante linea .r.c. parallela ambobus lateribus .b.x.
et .s.u. quæ quidem linea diuidatur in puncto .i. ita quod eadem proportio ſit .r.i. ad .
i.c.
vt .A. ad .B. protrahatur deinde à puncto .o. linea .o.i.q. quæ ſecabit ambo duo la-
tera .b.x. vel .s.u. intra terminos eorum, vel tantum .b.x. reliquum verò extra termi-
nos .s.u .

Nunc autem ſi intra dictos terminos tranſibit, vt in prima figura videre potes,
problema ſolutum erit, eo quod
ſi à puncto .i. protracta fuerit .p.
d.
pa rallela ad .u.x. habebimus
ex prima ſexti eandem propor-
tionem .s.d. ad .p.x. ut .r.i. ad .i.c.
hoc eſt vt .A. ad .B. ſed triangulus triãgulus
i.e.d. æqualis eſt triangulo .i.q.p.
vt tibi facilè patebit, vnde qua-
drilaterum .e.q.u.x. æquale erit
quadrilatero .d.u. ex communi IO. BAPT. BENED. ſcientia. Quare ex .9. quinti, ita erit .s.d. ad dictum .d.u. vt ad quadrilaterum .e.q.u.
x.
hoc eſt vt .A. ad .B. ex .11. eiuſdem.

6.23.2.1.
0317-01

Sed ſi punctum .q. fuerit extra ut in .2. figura videre eſt. tunc manifeſtum erit, quod
triangulus .e.x.t. maior erit pa-
rallelogrammo .d.u. per triangu
lum .q.t.u. cum triangulus .q.i.p.
æqualis triangulo .d.i.e. excedat
quadrilaterum .i.t.u.p. per trian
gulum dictum dictũ .q.t.u. quapropter
cum diuiſus fuerit triangulus .e.
x.t.
mediante linea .o.n.K. ita quod
quadrilaterum quadrilaterũ .e.n.K.t. ſit æquale
triangulo .q.t.u. ex doctrina præ
cedenti, habebimus propoſitum.

6.23.2.1.
0318-01

6.23.3. Idem de frusto trianguli.
AD EVNDEM.

SEd ſi quadrilaterum dictum eſſet fruſtum alicuius trianguli triãguli ut in figura .A. hic ſub
ſcripta videre eſt, ſuppoſita, b.d. parallela ad .u.p. ita faciendum eſſet, ducendo
ſcilicet parallelam .u.x. ad .b.p. quæ producatur vſque ad concurſum cum .b.d.
in puncto .x. ſitque ſitq́; proportio data inter .t.a. et .a.e. quas duas lineas cogitemus inuicem
directè coniunctas, tunc diuidatur tota .t.e.
in puncto .i. ita vt .t.i. ad .i.e. ſit vt quadrilate
ri .p.d. ad trigonum .u.d.x . deinde diuidatur
t.i. in puncto r. tali modo vt .t.r. ad .r.i. ſe ha-
beat vt .t.a. ad .a.e. quo facto ex doctrina prae­ cedenti prę­cedenti diuidatur totum parallelogram--
mum .p.x. mediante linea .o.q. ſecundum
quod ſe habet .t.r. ad .r.e . Atque ita ſolu-
tum erit problema, vt exte ipſo ratiotina-
ri facile potes.

6.23.3.1.
0318-02

6.23.4. Fdem de quadrilatero in genere.
AD EVNDEM.

SEd ſi nullum latus parallelum reliquo erit, ita faciendum erit. ſi ſit tale quadrila
terum .b.d.u.p. oportet vt ipſum conuertamus in triangulum, producendo duo
quęuis eius latera oppoſita uſque ad interſectionem ut pote .u.p. et .d.b. in puncto .x.
quo facto, ſupponemus .o. eſſe punctum datum, proportio verò data ſit .t.r. ad .r.i. ad
iungatur deinde .i.e. ad .t.i. ad quam .e.i. ipſa .t.i. ſe habeat vt quadrilaterum .b.d.u.p. EPISTOLAE. ſe habet ad triangulum b.p.x. ducatur poſtea .o.q. quæ diuidat totale triangulum .d.
u.x.
in duas partes inuicem ita proportionatas, ut ſe habent t.r. et .r.e. quæ quidem
partes ſint .c.d.u.q. et .c.q.x. ut in primo problemate tibi monſtraui, & habebis pro-
poſitum, dato quod punctum .c. ſit inter
b. et .d .

Sed ſi forte linea .o.q. ſecabit .b.x. hoc
eſt ſi punctum .c. eſſet inter .b. et .x. mani-
feſtum eſt, quod .c.q. ſecaret .b.p. in pun-
cto .y. vnde in tali caſu, alio modo ope-
randum eſſet, hoc eſt ducendo .b.u. quæ
diuideret quadrilaterum in duo triangu-
la, & ut ſe haberet triangulum .b.d.u. ad
triangulum .b.p.u. vellem vt ita ſecaretur
t.i. in puncto .n. vt ita ſe haberet .t.n. ad .n.
i.
ut dictum eſt de iſtis duobus triangulis, deinde prout ſe habet .n.r. ad .r.i. ita ſeca-
res triangulum .b.p.u. mediante linea .o.
K.
ex doctrina primi problematis, & ita haberes propoſitum.

6.23.4.1.
0319-01

6.23.5. Idem de Pentagono, Exagono, & de reliquis.
AD EVNDEM.

PEntagonum, ſeu hexagonum, vel alias quaſuis multilateras figuras propoſitas its
diuidere, vt dictum eſt de trilateris, & quadrilateris.

Sit exempli gratia pentagonus .a.d.u.p.b. quem ſecare volumus mediante mediãte linea .o.
q.
in duas partes inuicem ſe habentes, vt ſe habent .t.r. et .r.i. oportet igitur ut ipſum
pentagonum reducas ad quadrilaterum .x.a.d.u. quod diuidatur ſecundum præce-
dentem doctrinam, vt ſe habet .t.r. ad .r.e.
vnde ſi punctum .q. incidit inter .p. et .u . tunc
habebis propoſitum, ſi verò incidet inter .
p.
et .x. clarum erit quod linea .o.q. ſecabit
latus .p.b. trianguli .b.x.p. in puncto .y. qua-
propter duces lineam .a.p. vt claudat trian-
gulum .a.b.p. diuidaturque diuidaturq́; .t.i. in puncto .n. ita
vt .t.n. ad .n.i. ſe habeat, vt quadrilaterum. a [?] .
d.u.p.
ad triangulum triãgulum .a.b.p . deinde hunc hũc trian
gulum .a.b.p. diuidas mediante linea .o.K.
vt .n.r. ad .r.i. ex doctrina primi problematis
& habebis propoſitum. Idem dico de hexa
gono, reducendo ipſum ad pentagonum, &
item de eptagono, ipſum reducendo ad exa
gonum, & idem infero de infinito ipſarum
ſuperficialium figurarum rectilinearum.

6.23.5.1.
0319-02

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer