Proponunt hi numerum in binas eiuſmodi partes diuidendum, vt ſumma qua-
dratorum dictarum partium, alteri numero poſsibili propoſito æqualis ſit, poſſi-
bili inquam, etenim ſi eiuſmodi numerus propoſitus, minor eſſet producto totius
primi in ſuum dimidium, eſſet huiuſmodi factum impoſſibile. Quod nos exequi
cupientes, ſumamus primum
numerum
numerũ propoſitum, quem in ſe ipſum multiplice-
mus. ab hoc quadrato deducamus ſecundum numerum propoſitum, tum quod re-
manſerit duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra-
hi, accepta poſtea radice quadrata reſidui & dempta ex priori numero propoſito, tunc dimidium reſidui vna pars erit ex duabus primi numeri quæſita.
Exempli gratia proponantur .20. diuidenda in duas eiuſmodi partes, vt ſumma
quadratorum ipſarum partium æqualis ſit .272. qui numerus maior eſt .200. maior
inquam dimidio quadrati .400. ipſorum .20. hic autem numerus .272. è quadra-
to .400. deducatur,
remanebunt
remanebũt enim .128. quod duplicari iubeo,
producentur
producẽtur
ſiquidem
ſiquidẽ .
256. quæ pariter deducta è quadrato totali, remanebunt .144. cuius radicem ſumi
volo, quæ erit .12. & dempta ex .20. priori numero dato remanebit .8. cuius di-
midium erit .4: pars vna ex quæſitis, quæ ex primo numero propoſito .20. detra-
hetur,
remanebitque
remanebitq́ .16. pro altera parte.
Cuius demonſtrationis cauſa, in primis cogitemus quadratum
.a.c.
cognitum nu-
meri
.a.b.
primò propoſiti, qui cogitetur diuiſus in duo quadrata
.d.e.
et
.e.b.
duo- que
duo-q́ ſupplementa
.a.e.
et
.e.c.
numerus autem ſummæ duorum quadratorum
.d.e.
b.
pro ſecundo propoſito datur; ex quo, ſumma duorum ſupplementorum
.a.e.c.
conſequenter erit cognita, quę cum duplicata fuerit, & quatuor hæc ſupplementa
[?]
cogitatione accommodata, prout in
quadrato
.f.g.
apparet (
quanuis
quãuis idipſum
proueniret ſi modo Eucl. octaua
ſecundi
ſecũdi
aptaretur) æquali quadrato
.a.c.
ita vt
cogitatis quatuor ſupplementis numeri
cogniti in quadrato
.f.g.
ex conſequen-
ti cognoſcetur numerus quadrati partia
lis
.h.i.
& vna etiam eius radix qua de-
tracta ex numero
.a.b.
aut
.f.n.
(quod
idem eſt) primo propoſiti, relinquetur numerus cognitus duplum
.x.k.n.
aut
.t.b.
pars vna totius
.a.b.
ex quo uerum erit hoc meum problema.
1.28.
THEOREMA XXVIII.
SI quis & aliam rationem perficiendæ
huius rei quærat, hoc præſtet inuen-
to numero huius ſupplementi, cum in
præcedenti theoremate dictum fuerit,
qua ratione manifeſtetur duplum ſupple-
menti ipſius.
Cogitemus in ſubſcripta figura lineam
.
a.b.
tanquam primum numerum propoſi-
tum, & productum
.a.e.
ſupplemento
.a.e.
primæ præcedentis figuræ æquale ſit,
ac deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio
.
a.b.
videlicet
.b.c.
quod erit
.b.d.
ex quo detrahatur deinde
.a.e
. quare remane-
THEOREM. ARIT.
bit quadratum
.e.d.
cognitum, cuius radix æqualis erit
.c.t.
qua coniuncta dimi-
dio
.c.a.
ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
1.29.
THEOREMA XXIX.
QVid
cauſæ eſt, cur ſubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui-
cem
multiplicatorum
multiplicatorũ ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper
eſt duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum
eſſet .128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret .144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore
.q.g.
et minore
.g.p.
directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur
.a.p.
in quo cogitetur diameter
.a.p.
et à puncto
.g.
ducatur parallela
.g.n.c.
et à pun-
cto
.n.
parallela
.n.s.r.
ex quo duo producta
dabuntur
dabũtur
.q.n.
et
.n.u.
ſingula æqualia pro-
ducto
.q.g.
in
g.p.
et
.a.n.
et
.n.p.
duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum, quod ſatis
ſuperque
ſuperq́ , probatur quarta ſecundi Eucli. Cogitemus deinde
.n.
o.
æqualem
.n.p.
et à puncto
.o.
ducatur
.o.m.t.
parallela
.r.s.
et
.o.e.
ad
.n.
c
. quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur quantitas
.m.n.
æqualis
.q.n.
producto
.q.g.
in
g.p.
et quantitas
.o.c.
minor ipſo producto, ex
quantitate quadrati
.n.p.
ex quo quantitas
.m.n.e.
vna cum quadrato
.n.p.
æqualis erit duplo produ-
cti
.q.g.
in
.g.p.
ſed hæ duæ quantitates, ſunt par-
tes duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt
.m.e.
quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet conſiderare. Itaque veritas hæc manifeſta
erit.
1.30.
THEOREMA XXX.
CVr
ij qui ex duobus numeris propoſitis maiorem per minorem diuidunt, ſi
proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4.
ipſeque
ipſeq́ .20. per .4. diui-
datur, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis
.x.u.
et
.x.s.
maiore
atque
atq; mi-
nore ſignificétur, tum
.u.x.
numerus per
.s.x.
di-
uidatur, ſitq́ue proueniens
.x.n.
poſtmodum qua-
dratum
.u.x.
ſit
.x.o.
et productum ex
.n.x.
in
.u.
x.
ſit
.x.e.
quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione quadrati
.o.x.
per
.s.x.
quod ſit
.m
. Patet
enim ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem
.u.x.
ad
.n.x.
qualis eſt
.s.x.
ad vnitatem,
& quadratum
.o.x.
ad rectangulum
.e.x.
ita ſe ha-
I O. BAPT. BENED.
biturum, ſicut
.u.x.
ad
.n.x.
ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, quare ex 11.
quinti ita ſe habebit
.o.x.
ad
.e.x.
ſicut
.s.x.
ad vnitatem; ſed ſicut ſe habet
.s.x.
ad.
vnitatem, ita ſe habet pariter
.o.x.
ad
.m
. vnde ex .11. prædicta ita ſe habebit
.o.
x.
ad
.m.
ſicut idipſum
.o.x.
ad
.e.x.
itaq́ue ex .9. prædicti quinti
.m.
æqualis erit
.o.x
.
1.31.
THEOREMA XXXI.
CVR propoſito aliquo numero in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus per
quamlibet ipſarum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum
multiplicata efficiant.
Exempli gratia, ſit denarius prop oſitus numerus, per binarium & octonarium
diuiſus, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta
crunt .6. cum quarta parte lineari, quæ ſi mul multiplicata, pariter erunt .6. cum
quarta parte ſuperficiali.
Cuius ſpeculationis cauſa, totalis numerns, linea
.q.p.
ſignificetur, eius duæ
partes, per
.k.
maiorem et
.u.
minorem, ipſa vnitas per .t: proueniens ex diuiſio-
ne
.q.p.
per
.k.
ſit
.q.i.
proueniens autem ipſius
.q.p.
per
.u.
ſit
.q.f.
quare ex defini-
tione diuiſionis ita ſe habebit
.q.p.
ad
.q.i.
ſicut
.k.
ad
.t.
et
.q.p.
ad
.q.f.
ſicut
.u.
ad
.t.
hoc eſt
.q.f.
ad
.q.p.
ſicut
.t.
ad
.u.
vnde ex æqualitate
proportionum
proportionũ ſic ſe habebit
.q.f.
ad
.q.i.
ſicut
.k.
ad
.u.
et conuerſim. Ad hæc in linea
.q.p.
vnitas, per lineam
.q.o.
ſigni-
ficetur, quo facto, dicamus, ſi
.q.p.
ad
.q.i.
ſic ſe habet vt
.k.
ad
.q.o.
itaque permu-
tando, ſic ſe habebit
.q.p.
ad
.k.
ſicut
.q.i.
ad
.q.o.
hoc eſt
.k.u.
ad
.k.
ſicut
.i.q.f.
ad
.
q.f.
(nam
.k.u.
partes ſunt integrales totius
.q.p.
et
.k.u.
ad
.k.
eſt ſicut
.i.q.f.
ad
.q.f.
ex .18. quinti) Quare ita erit
.i.q.f.
ad
.q.f.
ſicut
.q.i.
ad vnitatem
.q.o.
ex .11. quinti
Addatur deinde
.q.i.
ad
.q.f.
et
.q.i.
per
.
q.f.
multiplicetur, cuius multiplicatio-
nis productum, ſit
.x.f.
quod probabo
æquale eſſe ſummæ
.f.q.
cum
.q.i
. Sece-
tur enim linea
.q.x.
in puncto
.s.
ita. vt
.
q.s.
æqualis ſit
.q.o.
ſigneturq́ue pro-
ductum
.s.f.
quare
eadem
eadẽ erit propor-
tio quantitatis
.x.f.
ad
.s.f.
quæ eſt
.q.x.
ad
.q.s.
ex prima ſexti, aut .18. vel 19.
ſeptimi, hoc eſt, ſicut
.q.i.
ad
.q.o.
et
ex .11. quinti (vt dictum eſt) ſicut
.i.q.
f.
ad
.q.f.
ſed numerus
.s.f.
fuperficia-
lis tantus eſt, quantus linearis
.q.f
. quare ex .9. quinti tantus erit (ſu-
perficialiter) numerus
.x.f.
quantus
(lineariter).
f.q.i.
quod erat pro-
poſitum.
1.32.
THEOREMA. XXXII.
CVR numero aliquo in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus diuidatur per
ſingulas partes, ſumma duorum prouenientium per binarium, ſemper ma-
ior ſit ſumma prouenientium ex diuiſione vnius partis per alteram.
Exempli
Exẽpli gratia, ſi proponeretur numerus .24. qui in duas partes inæquales diuide
THEOREM. ARIT.
retur .20. ſcilicet et .4. certè .24. perſingulas partes diuiſo, daretur vnum proue-
niens ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium per binarium.
Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea
.q.p.
ſignificetur, eius duę
partes lineis
.q.x.
et
.x.p.
tum
tũ
.q.f.
ſit proueniens ex diuiſione totius
.q.p.
per
.x.p.
et
.
q.i.
ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem
.q.p.
per
.q.x.
adhæc
.h.m.
ſit proueniens,
ex diuiſione
.q.x.
per
x.p.
et
.h.k.
proue-
niensex diuiſione
.p.x.
per
.q.x.
patet igi-
tur ex .22. theoremate huiuslibri proue-
niés.h.m. minus eſſe proueniente
.q.f.
per
vnitaté, & proueniens
.h.k.
minus proue-
niente
.q.i.
per alteram vnitatem. Itaque
.
f.q.i.
maior erit
.m.h.k.
per numerum binarium, quoderat propoſitum.
1.33.
THEOREMA. XXXIII.
QVilibet
numerus, medius eſt
proportionalis inter numerum
ſui quadrati & vnitatem.
Detur enim numerus propoſitus,
qui linea
.a.u.
ſignificetur, cuiusqua-
dratum ſit
.u.n.
vnitas linearis ſit
.i.a.
et ſuperficialis
.o.
patebit ex .18. ſexti
aut 11. octaui proportionem
.u.n.
ad
.
o.
futuram duplam proportioni
.u.a.
ad
.i.a.
ſed
.i.a.
e
[?]
t.o. eadem (ſpecie)
res
sunt
sũt, tanta ſcilicet
.a.i.
quanta
.o.
vni
tas eſt, Itaque proportio numeri
.u.n.
ad
.u.a.
æqualis erit proportioni
.u.a.
ad
.i.a
. Quare numerus
.u.a.
inter nu-
merum
.u.n.
& vnitatem, medius erit
proportionalis.
1.34.
THEOREMA XXXIIII.
HOc
ipſum quod diximus & alia ratione ſpeculari licebit.
Propoſitus numerus, nunc etiam per
.a.u.
ſignificetur, eius quadratum per
.
u.n.
vnitas linearis per
.a.i.
productumque
productumq́;
.a.u.
in
.a.i.
terminetur,
ſitque
ſitq́;
.n.i
. quare
n.i.
conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari
.a.u.
& ex prima fexti aut .
18. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio
.u.n.
ad
.i.n.
quæ eſt
.a.u.
ad
.a.i.
ſed nu-
merus
.a.u.
cum numero
.n.i.
idem ſpecie eſt. Itaque medius eſt proportiona-
lis inter
.u.n.
& vnitatem.
