Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

1. IO. BAPTISTAE
BENEDICTI
PATRITII VENETI
SERENISS. CAR. EM.
ALLOBROGVM DVCIS
PHILOSOPHI.

Theoremata Arithmetica.

PRaeclare multa veteres mathematici philoſophi de nu­
meris eorumq́ue effectibus excogitata poſteris tradide-
runt, quorum cum vix vllam rationem reddiderint, aut
certè per exiguam, occaſione diuerſorum problematum
mihi à Sereniſſimo Sabaudiæ Duce propoſitorum præbi-
ta, de ijs quæ ab antiquis propoſita fuerunt contemplanda
nonnulla occurrerunt, quæ poſteritati comendare non
inutile arbitratus fum, ne hæ meæ cogitationes intercide-
rent, & occaſionem præberem quamplurimis abſtruſa hęc
indagandi, quæ problematibus & thæorematibus inuoluta, vix aliquem qui euol-
ueret nacta funt.

Inter cætera vero à me queſita, hoc fuit theorema.

1.1. THEOREMA PRIMVM.

INterrogavit me Sereniſſimus Dux Sabaudiæ, qua ratione cognoſci poſ-
ſet ſcientificè & ſpeculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris,
quolibet producentium minus eſſe. Cui reſpondi, mente & cogitatione conci-
piendum eſſe fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiuſdemq́ue na-
turæ eſſe, imò longè diuerfæ.

Exempli gratia, fractis numeris propofitis .a.i. et .a.c. quorum integri ſint .a.
b.
et .a.d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè eſſet productum .c.i. fu-
perficiale futurum, quod nomen caperet à producto ſuperficiali .d.b. generato ex
vno in aliud totorum linearium, nam ſi conſtitueretur .a.i. octauum ipſius .a.b. et .a.
c.
dimidium .a.d. multiplicato .a.i. cum .a.c. produceretur fextumdecimum ipſius .
d.b
. Quare .d.b. eſſet totum relatiuum relatiuũ ipſius .c.i. non aliquod totum producentium. Mirum itaque non eſt ſi productum .c.i. minus videatur fuis producentibus, cum
toto, diuerſæ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiuſdem
naturæ, linearis, ſuperficialis, aut corporeæ denominatur.

Quòd ſi amplioris cognitionis gratia ex ſcientiæ præceptis ſpeculari voluerit a@ IO. BAPT. BENED. quis, qua ratione fractus numerus .c.i. minor ſit in ſuo integro .d.b. fracto .a.i. in
ſuo integro .a.b. aut fracto .a.c. in ſuo integro .a.d. conſideret is quo pacto pro-
portio .c.i. ad .d.b. minor ſit proportione .a.i. ad .a.b. et .a.c. ad .a.d. hac ratione. Ma-
nifeſtum eſt ex prima ſexti de quantitate
continua
, aut .18. ſeptimi Euclidis de diſcre
ta, proportionem ipſius .d.i. ad .d.b. eſſe ſi-
cut .a.i. ad .a.b. & cum .c.i. minor ſit .d.i.
velut pars ſuo toto, proportio, c.i. ad .d.b.
minor erit proportione .d.i. ad .d.b. ex .8.
quinti, quare minor erit pariter proportio-
ne .a.i. ad .a.b. ex .12. eiuſdem eiuſdẽ vnà etiam pro-
portio .c.i. ad .d.b. minor erit .a.c. ad .a.d.
ex eiſdem cauſis, medio .c.b . Ex quibus pa-
tet ratio, cur fracti diuerſarum denomina-
tionum ad vnicam reducantur. Cur etiam
numeros integros in partes fractis ſimiles
frangere liceat, quæ omnia ex ſubſequenti
figura facilè cognoſci poſſunt.

1.1.1.

0014-01

1.2. THEOREMA II.

QVae ſit ratio, cur hi, qui numeros, fractos diuerſarum denominationum col-
ligere volunt, & in ſummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus
per denominatorem alterius, & poſtmodum denominatores adinuicem, quorum
vltimum productum, commune eſt denominans duorum priorum productorum,
quæ collecta in ſummam efficiunt quod quærebatur.

Qua in re ſciendum eſt, denominantes conſiderari tanquam partes vnius eiuſdem- q́ue eiuſdẽ-q́ue magnitudinis quantitatis continuæ, linearum (verbigratia) a.b. et .a.d. æqualium æqualiũ
in longitudine, quarum quarũ .a.b. in quatuor partes diuidatur, et .a.d. in tres. Quare ſi colli-
gere voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus .a.c. duo tertia,
cum .a.b. diuiſa in 4. partes, produceturq́ue .c.b. octo partium ſuperficialium, de-
hinc multiplicando .a.i. tres quartas cum .a.d. diuiſa in .3. partes producetur .i.d. pri
mis ſingulis æqualis, nouem partium ſuper
ficialium, multiplicata deinde a.b. diui-
ſa in .4. partes per .a.d. in .3. diuiſa, produ-
cetur quadratum .d.b. in continuo, in 12.
partes diuiſum, quod erit totum commune
ſingulis productis, quorum primum erat .c.
b
. Quare .c.b. ita ſe habet ad totum .d.b. ſi-
cut .a.c. ad .a.d. ex prima ſexti in continuis,
aut .18. ſeptimi in diſcretis quantitatibus,
et .d.i. ad .d.b. ſicut .a.i. ad .a.b. ex eiſdem
propoſitionibus. Collectis deinde parti-
bus producti .c.b. cum partibus producti .
d.i.
manifeſtè depræhendetur eiuſmodi
ſummam componi ex partibus vnius totius
communis ſingulis earum.

1.2.1.

0014-02
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer