Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

1.157. APPENDIX
DE SPECVLATIONE
REGVLAE FALSI.

Nvnc idem ferè mihi accidit, quod & Michaeli Stifelio, à quo
cum Petreius Tipographus nuper totam ſuam Arithmeticam re
cepiſſet, mox poſteà per literas petijt explicationem explicationẽ regulæ falſi.

Similiter poſt inciſas omnes ſuperiorum Theorematum figu-
ras, opereque opereq́; Typographo commiſſo, amicus quidam omnium
ſcientiarum ornatiſſimus maxima neceſſitudine mecum coniun-
ctus monuit me, vt aliquid de regula falſi ſcribere vellem, cuius
ſuaſu hæc, quæ ſequuntur appendicis vice ponere libuit, nelector, quidpiam quod
ad hancrem pertinet iure merito à nobis deſiderare poſſet; vt autem ad ipſam re- gulam re-gulã accedamus Ego ſicut, & in alijs multis, ita & in huiuſcæ regulę inuentione cum
ipſo Stifelio maximè conuenio, putans regulam falſi, ſeu falſarum poſitionum in-
uentam fuiſſe per paruos numeros in quæſtionibus facillimis & cognitis, eodem fer
mè modo, quo ipſe monſtrat illis duobus exemplis, quæ quamuis ipſe appellet theo
remata, nihilominus the oremata ego illa non vocarem, niſi adiuncta fuerit ſpecu-
latio ab ipſo præterita, & non experientia tantummodo, vt ipſe fecit. Primum eius
exemplum eſt, quòd.

Quorumcumque duorum duorũ numerorum differentia, ſi fuerit multiplicata in aggre
gatum eorum, producit ipſam differentiam, quæ eſt inter quadrata eorum.

Secundum verò exemplum eſt, quod.

Datis tribus numeris ſecundum progreſſionem arithmeticam diſpoſitis, facit mul
tiplicatio medij in ſe, quantum quãtum multiplicatio extremorum inter ſe cum multiplicatio
ne differentiarum inter ſe.

Talia enim exempla ipſe aliter non probat niſi experientia in aliquibus numeris,
arbitratus ex eo inuentam eſſe regulam falſi, experientia tantummodo confirma-
tam, quod quidem etiam & ego credo. At experientia in philoſophia mathema-
tica, aut nullam nullã prorſus facit ſcientiam ſcientiã, aut omnino ſuperfluus fuit Euclides in multis
ſuis propoſitionibus, & præcipuè in eius ſecundo libro, ſi ſufficeret experientia. Id-
circo quo magis ad euidentiam ipſius veritatis, quam profiteor, deuenire poſſim,
accipiam accipiã primò primum exemplum
ipſius Stifelij hic ſuperius citatum,
& pro numero maiori, in prima hic
ſubſcripta figura .AE. accipio .a.i.
cuius quadratum ſit .a.c : pro minori
vero numero capio .a.e. partem partẽ ipſius
a.i. cuius quadratum fit .a.t. differen
tia autem horum numerorum erit .
e.i.
reliqua pars ipſius .a.i : & differen
tia ipſorum quadratorum erit gno-
mon .e.c.o : Nunc autem protraho .
i.c.
latus quadrati maioris quouſque
c.n. æqualis ſit .a.e. numero minori,
perficioque perficioq́; rectangulum .e.n. quod IO. BAPT. BENED. producitur ex .i.e. differentia in .i.n. aggregatum amborum numerorum, ſed hoc pro
ductum excedit productum e.c : partem gnomonis dicti per .u.n. quod quidem .u.
n.
æquatur ipſi .u.o. reliquæ ſcilicet parti ipſius gnomonis, nam.e.u. æqualis eft .i.c. qua
re et .a.i. ſed .e.t. ęquatur .e.a. vnde .t.u. æqualis erit .e.i. quare et .u.c : at cum .c.n. æqua
lis ſit ipſi .a.e. erit etiam æqualis ipſi .
o.t
. quare .u.n. æqualis erit ipſi .u.o.
& tunc intellectus quieſcit, & abſque abſq;
aliqua alia experientia verè ſcientifi
ceque ceq́; dicere poteft, quòd.

1.157.1.

0115-01
0116-01

Quorumcumque duorum nume-
rorum differentia, fi fuerit multipli-
cata in aggregatum eorum, producit
ipſam differentiam differentiã, quæ eftinter qua-
drata eorum.

Hæcautem propoſitio à me ipſo
etiam in .60. Theoremate huius libri
aliter demonftrata fuit.

DE ſpeculatione autem, etſcientia ſecundi exempli, in ſecunda hic ſubſcripta
figura .ω. cogitemus lineam .u.a. tribusin partibus arithmeticè diuiſam, qua
rum maxima ſit .u.o. media. ſit .o.e. minima verò ſit .e.a. multiplicatio autem mediæ .
o.e.
in ſe ſit quadratum .o.t. abſcindatur deinde ex .o.e : e.i. æqualis .e.a. tunc .o.i. erit
differentia inter .o.e. et .e.a. & æqualis differentiæ inter .o.e. et .o.u. ex hypotefi, quæ
quidem .o.i. in ſe ducta procreabit quadratum .o.c. quod erit productum ex differen
tijs ipſarum partium, & erit pars quadrati .o.t. ſuperius dicti, vt exſe patet. Nunc
autem dico gnomonem .i.t.n. æqualem eſſe ei quod fit ex .a.e. in .o.u . Producatur igi
tur .e.t. quouſque .t.r. æqualis ſit ipſi .o.i . tunc .e.r. erit æqualis .o.u. quod etiam clarum
eſt. Claudatur ergo rectangulum .i.r. quod erit æquale producto ipſius .e.a. in .o.u.
Nam .e.i. ſumpta fuit
æqualis .e.a. ſed ex ra
tionibus in priori exem exẽ
plo allatis, productum ꝓductum .
i.r.
æquale erit gno-
moni .i.t.n . Nuncau
tem verè, ſcientifice-
q́ue poſſumus affirma
re, quòd. Datis tribus
numeris ſecundum ſecundũ pro
greffionem arithme-
ticam diſpofitis, fa-
cit multiplicatio me-
dij in ſe quantum mul
tiplicatio extremorum inter ſe, cum multiplicatione differentiarum inter ſe.

1.157.1.

0116-02

Et ſic de alijs huiuſmodi inuentionibus infero.

DIcturus igitur aliquid circa regulam regulã falſi, videtur mihi nullam oportere facere
mentionem de origine huiuſcæ regulæ, cum in hoc Stifelius ſatisfecerit, ſed THEOREM. ARITH. potius veras rationes propriaque propriaq́; fundamenta huiuſmodi operationis oftendere, fu-
mendo eadem exempla propoſita abipſis practicis, & maximè à Nicolao Tartalea
viro accuratiffimo, qui vbicunque potuit ſpeculatus eſt cauiſas ipſarum ipſarũ operationum,
etſi de huiuſmodi falſi regula circa finem cap .8. lib. 17. promittat poſtea loqui, nub-
libi tamen loquutus eft. Monendum etiam cenſeo, me nihil de rationibus regulæ
falſi ſimplicis dicturum, cum ex ſeipſis ſatis appareant, quod non ita eſt de poſitio-
nibus duplis. Incipiam ergo à primo problemate lib. 17. ipſius Tartaleæ, quo etiam etiã
ipſe vtitur pro exemplo docendi gratia, ipſam regulam duplæ poſitionis, quod qui
dem problema aliter à me ſolutum ſolutũ fuit in .118. Theoremate huius mei lib. quod ſimi
liter ob hanc demum occaſionem mihi oblatam, alia etiam via, ſpeculatus ſumidem
poſſe fieri, quæ quidem via ſeu methodus generalis erit, & ita ſe habet.

Accipio enim propoſitum numerum diuiſibilem, à quo detraho ſummam
datorum numerorum, primo duplicato, eo quòd tam in ſecunda quam in
tertia parte reperitur, vt in propofito exemplo, datus numerus eft, 50. à
quo detraho ſummam dictorum numerorum, quæ eſt .11. nam tres, & tres, &
quinque ſunt vndecim, eo quòd primus ingreditur in ſecunda, & in tertia parte,
dempto igitur hoc numero .11. ex .50. remanet .39. qui quidem numerus intelligen-
dus eſt pro ſumma trium partium ſimplicium adhuc incognitarum, à quo extrahen
da eſt prima, eo modo quo nunc proponam exregula de tribus, hoc eſt aggregan
do dictas partes ſimplices ſine aliqua additione vtcunque volueris (ſed commodius
erit in minimis numeris) iuxta propoſitum, quod quidem propoſitum eſt, vt ſecun
da pars dupla ſit primæ, tertia verò æqualis fit primæ & ſecundæ, quæ partes in di-
ctis minimis numeris, ita diſpoſitæ erunt .1. 2. 3. quarum ſumma erit .6. Nunc ſi ex
regula de tribus dixerimus, cum hæc ſumma proueniat nobis ab vno, à quo proue-
niet .39. et veniet nobis .6. cum dimidio pro prima parte quæfita in propoſito nume-
ro .39. cum ergo habuerimus primam partem partẽ, reliquas poſteà illicò cognoſcemus.

Huiuſmodi verò operationis ratio ex ſe manifeſta patet, eo quòd proportio ſum
mæ partium in minimis numeris ad primam eorum partem eadem eſſe debet, quæ
ipſius .39. ad primam partem quæſitam huiuſmodi aggregati partium ſimplicium ſimpliciũ, ſed
quia nemo adhuc, quod ſciam, ſatis animaduertit rationem modorum, qui ab anti-
quis obſeruati ſunt, qui quidem modi duo ſunt circa hoc Helcataym duplæ falſæ
pofitionis, igitur non prætermittam aliquid de hacreſpeculari, & primo de pri-
mo modo.

In primis igitur ſciendum ſciendũ eft, quod
veritas ita inueniri poterit eo-
rum modo, me diantibus ſimpli­
cibus partibus, vt etiam etiã median- tibus median-tibꝰ compoſitis cõpoſitis, ut in pręſenti exem exẽ
plo pro primis pofitionibus ac-
ceperunt .10. et .8. pro ſecundis
verò compoſitis cum cũ numero .3.
inuenerunt inuenerũt .23. et .19. pro tertijs
autem aũt compoſitis cõpoſitis cumquinque quinq;, notaue
runt .38. et .32. vnde prima ſum
marefultauit .71. ſecunda verò
59. ita quodprimus primꝰ error remanebat
21. ſecundus ſecũdꝰ autem aũt .9. vt in figura .A .

1.157.1.

Compositorum 0117-01
Figure 1. Compositorum
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer